Vollständige Induktion (Analysis 1): Zwei Teams treten genau einmal gegeneinander an

0 Daumen
229 Aufrufe
Bei einem Fussballturnier treten je zwei Teams genau einmal gegeneinander an und ermitteln einen Sieger. Zeige (durch vollständige Induktion), dass die Teams so aufgereiht werde können, dass jedes über seinen unmittelbaren Nachfolger gesiegt hat.
Gefragt 22 Okt 2012 von Gast ii7433

1 Antwort

0 Daumen
Wir zeigen das es für 2 Mannschaften gilt:

Sicher kann ich zwei Mannschaften so aufreihen, dass die erste gegen die Zweite gewonnen hat. Hat A gegeb B gewonnen schreiben wir A-B ansonsten halt B-A.

Jetzt wird es etwas schwieriger. Unter der Annahme das es für n Mannschaften gilt müssen wir nun zeigen, dass es auch für n + 1 Mannschaften gilt.

Ich habe also bereits z.B. eine Reihe von 5 Mannschaften die in richtiger Reihenfolge stehen.

A-B-C-D-E

Jetzt muss ich eine weitere Mannschaft so einreihen können, dass sie hier herein passt.

Hat F gegen A gewonnen darf ich F einfach an den Anfang setzen. Hat F gegen A verloren und gegen B gewonnen darf ich F zwischen A und B setzen. Hat F aber gegen B verloren und gegen C gewonnen darf ich es zwischen B und C stellen. Hat F auch gegen C verloren aber gegen D gewonnen, darf ich F zwischen C und D einreihen. Es muss also irgendwo evtl. eine Mannschaft gegeben haben gegen die F gewonnen hat. Dann reihe ich F einfach vor dieser Mannschaft ein. Hat F allerdings gegen alle vorherigen Mannschaften verloren darf ich F sicher am Ende einreihen.

Damit ist das Schema durch vollständige Induktion gezeigt.
Beantwortet 22 Okt 2012 von Der_Mathecoach Experte CCXXVI

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und ohne Registrierung

x
Made by Matheretter
...