0 Daumen
541 Aufrufe

32^n  -1 ist durch 2n+2  teilbar, beweis?

 

Eventuell präziser:

2^ n  -1 ist durch 2n+2  teilbar, beweis?

von
(3^2)^{n}  -1 ist durch 2^{n+2}  teilbar, beweis?

 

Ich hab hier mal einige Umformungen und eine Verankerung. Der Induktionsschritt ist noch offen.

(3^2)^{n}  -1
= (3^n)^2 - 1 = (3^n - 1)(3^n + 1)           Produkt 2er gerader Zahlen.  =?= k*2^{n+2}

(3^2)^{n}  -1 = k*2^{n+2}          k aus N

Verankerung n=1

9-1 = 8.  2^3= 8. ok mit k=1.

Induktionsschritt n --> n+1

Induktionsvoraussetzung:

(3^2)^{n} -1  = k*2^{n+2}         k aus N

Induktionsbehauptung:
(3^2)^{n+1} -1  = m*2^{n+3}        m aus N

Ich befürchte, das hast Du falsch interpretiert.

Es ist nicht (32)n gemeint, sondern 3^{2n}.

 

Das Deinige funktioniert schon für n=3 nicht mehr:

(32)3-1=728

23+2=32

 

728/32=22,75

 

;)

@Unknown:  Deine Interpretation klappt.

1 Antwort

+1 Daumen

2^ n  -1 ist durch 2n+2  teilbar, beweis?

Neue Interpretation:

Verankerung n=1

9-1 = 8.  23= 8. ok mit k=1.

Induktionsschritt n --> n+1

Induktionsvoraussetzung:

32^n -1  = k*2n+2         k aus N

Induktionsbehauptung:
32^ (n+1) -1  = m*2n+3        m aus N

32^ (n+1) -1  = 32*2^ (n) -1  =  (32^ (n) -1)  (32^ (n) + 1) 

=  k*2n+2 *  (32^ (n) + 1) 

          |Klammer ist gerade Zahl. Also 2*t   t Element N

= k*2n+2 * 2t

= kt*2^{n+3} = m*2^{n+3}         qed Induktionsschritt.

von 162 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community