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Wie soll ich hier vorgehen?

(a) Sei n ∈ IN. Zeigen Sie durch vollständige Induktion: Sind x; y > 0, so ist genau dann x^n < y^n, wenn x < y.

(b) Ist n ∈ IN eine ungerade Zahl und sind x; y ∈ IR, so ist genau dann x^n < y^n, wenn x < y.
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(a)

Wenn x < y, dann gilt auch: x1 < y1 (ist ja dasselbe). Damit ist der Anfang gemacht.

Der Induktionsschritt lautet dann:

xn+1 < yn+1 ⇔ x• x < yn • y

Weil x ≠ 0: ⇔ xn < yn • y/x

Wegen der Voraussetzung 0 < x < y gilt: y/x > 1

Also: xn < yn < yn • y/x

Mit der Induktionsvoraussetzung gilt hier die Behauptung (die Äquivalenzzeichen genügen auch der "genau dann, wenn"-Bedingung

 

(b)

Man kann den beweis aus (a) verwenden, wenn man die Variablen in Absolutbeträge setzt, da ungerade positive ganzzahlige Exponenten die Parität der Basis nicht verändern.

Nur der Spezialfall x=0 muss extra betrachtet werden, da man natürlich nicht durch 0 teilen kann.

Beantwortet von
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a) n ∈ IN. 

Behauptung Nr n: Sind x; y > 0, so ist genau dann x^n < y^n, wenn x < y.  

Behauptung Nr n+1: Sind x; y > 0, so ist genau dann x^(n+1) < y^(n+1), wenn x < y.             

Verankerung n=1

x < y gdw (genau dann wenn) x < y            ist trivialerweise richtig.

Indunktionsschritt n ------> n+1

Ind.voraussetzung Behauptung Nr n:        x^n < y^n gdw x < y.   

zu zeigen: Behauptung Nr n+1:         x^(n+1) < y^(n+1) gdw. x < y. 

Bew.         x^(n+1) = x^n * x                                    (Potenzgesetz)

                                                < x^n * y (gdw. x < y)      (Abschätzung gemäss: Mult. mit positiven Zahlen)

                                                 < y^n * y                             (Ind.vor.)

                                                 = y^(n+1)               Potenzgesetz

Also: x^(n+1) < y^(n+1)

                        w.z.b.w.

 

b) n ungerade, x,y können jetzt auch neg. sein. Es gilt nach Def. von '<' z.B. -5 < -2, -10 < -4

Voraussetzung: x<y

Hier folgt jetz eine etwas unschöne und mühsame Fallunterscheidung.

Fall: x neg. und y positiv bleibt bei ungeraden Exponenten gleich.

Fall: x und y positiv: Behauptung wurde bereits in a) bewiesen auch für gerade n.

Fall: x und y neg.:

x<y           heisst x^2 = x*x > x*y > y*y = y^2                 Bsp. (-5)^2 = 25 > (-5) *(-2) =10 > (-2) (-2) = 4

y ist also betragsmässig kleiner als x und y^2 < x^2

 

Verankerung: n=1

x < y gdw (genau dann wenn) x < y            ist trivialerweise richtig.


Indukionsschritt n ----------> n+2

 

Ind.voraussetzung Behauptung Nr n:        x^n < y^n gdw x < y.   

zu zeigen: Behauptung Nr n+2:         x^(n+2) < y^(n+2) gdw. x < y. 

Bew.         x^(n+2) = x^n * x^2                                    (Potenzgesetz)

                                                < x^n * y^2 (gdw. x < y, resp x^2 > y^2)      

(Abschätzung gemäss: Mult. einer neg. Zahl mit einer kleineren positiven Zahl)

                                                 < y^n * y^2                             (Ind.vor.)

                                                 = y^(n+2)               Potenzgesetz

Also: x^(n+2) < y^(n+2)

                        w.z.b.w.


 

 

 

Beantwortet von 142 k

Hallo, gilt diese Behauptung  (x^n <y^n)  auch wenn x und y negativ sind? Lg

So allgemein nicht. Nein. Du findest bestimmt selbst Gegenbeispiele.

In der Frage oben war aber bei a) ausdrücklich verlangt, dass x und y > 0 . Und bei b) gab es eine Voraussetzung zu n.

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