Sandwichkriterium Spezialfall

Question

Hallo liebe Forummitglieder,

ich habe eine Frage zu dieser Formel:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n \cdot 3^{n}-2^{n}} \)

Ich würde eigentlich einfach das Sandwichkriterium nehmen bei dieser Formel, jedoch verunsichert mich das n-mal doch sehr. Und ich finde leider keine Beispiele, die solch eine Formel zeigen.



Lg Sascha

Answer 1

[n*3^n-n*2^n]^{1/n}<=[n*3^n-2^n]^{1/n}<[n*3^n]^{1/n}

linker Term:

[n*3^n-n*2^n]^{1/n}=n^{1/n}*[3^n-2^n]^{1/n}=n^{1/n}*2*[(3/2)^n-1]^{1/n}

für n --> ∞ strebt n^{1/n} gegen 1 und [(3/2)^n-1]^{1/n} gegen 3/2, somit strebt Term gegen 3.

rechter Term: [n*3^n]^{1/n}=3*n^{1/n} strebt für n gegen unendlich gegen 3

Der gesuchte Grenzwert ist 3.