Berechnen Sie die Taylor-Reihe zu der Funktion f(x) = 1/(4+x)

Question

1/(4+x) zu der Entwicklungsstelle xo=2 .Am besten Schritt für Schritt.
Danke schon mal im Voraus für eure Hilfe.

Answer 1

Ableitungen von f(x)=(4+x)^{-1}:

f'(x)=-(4+x)^{-2}

f''(x)=2*(4+x)^{-3}

f^{n}(x)=(-1)^n*n!*(4+x)^{-n-1}

f^{n}(2)=(-1)^n*n!*(6)^{-n-1}

-->

 f(x)=

sum n=0 bis unendlich (-1)^n*(6)^{-n-1}*(x-2)^n

Answer 2

1/(4+x) 

= 1/(6 + (x-2)) 

= 1/6 / ( 1 - (- 1/6(x-2))) 

= 1/6  * 1/( 1 - (- 1/6(x-2)))    | Formel für geometrische Reihen für | -1/6 (x-2)| < 1

= 1/6 * ( 1(x-2)^0 - 1/6 (x-2)^1 + (1/6(x-2))^2 - (1/6(x-2))^3 + ......) 

= 6^{-1}(x-2)^0 - 6^{-2}(x-2)^1 + 6^{-3}(x-2)^2 - 6^{-4}(x-2)^3 + ...

= Σ_(k=0)^{∞} (-1)^k (6)^{-1-k} (x-2)^k