Abbildungsmatrix bestimmen für I: V→R mit I(f)=∫^1_( -1) f(x) dx und A: V→R^3 mit A(f)=(f(-1),f(0),f(1))

Question

Ich habe große Probleme mit folgender Aufgabe

Sei V=R₃  der Raum der Polynome ≤3 mit Basis B=(1,x,x²,x³)

I: V→R mit I(f)=∫¹ _-1 f(x) dx

A: V→R³ mit A(f)=(f(-1),f(0),f(1))

bestimme die Matrizen zu den Abbildungen bezüglich der Basis B und Den Standardbasen bezüglich R oder R³

Answer 1

Sei V=R^3  der Raum der Polynome ≤3 mit Basis B=(1,x,x²,x³)

I: V→R mit I(f)=∫¹ _-1 f(x) dx

I(1)=∫¹ _-1 1 dx  = 2

I(x)=∫¹ _-1 x dx  = 0

I(x^2)=∫¹ _-1 x^2 dx  = 1/3 x^3 |_(-1)^1 = 1/3 - (-1/3) = 2/3 

I(x^3)=∫¹ _-1 x^3 dx = 0

In den Spalten die Abbildungsmatrix stehen die Bildvektoren der Basisvektoren.

Die habe ich berechnet. Das ergibt die Matrix

M = ( 2 | 0 | 2/3 | 0) 

(Ohne Gewähr! Bitte nachrechnen)

Sei V=R₃  der Raum der Polynome ≤3 mit Basis B=(1,x,x²,x³)

A: V→R³ mit A(f)=(f(-1),f(0),f(1))

A(1)=( 1,1,1)

A(x)=(-1, 0 , 1)

A(x^2)=( 1,0,1)

A(x^3)=(-1, 0, 1)

Matrix M =

[[ 1, -1, 1, -1]

[1, 0, 0, 0]

[1, 1, 1, 1]] 

Comments

Wow vielen Dank! Aber ich verstehe nicht wo du die Standardbasen integriert hast. Also wann?

---

Die Standardbasis des R^3 ist (1,0,0) , (0,1,0), (0,0,1).

Die Basis von V ist B=(1,x,x²,x³). 

Ein Beispiel mit dem 3. Basisvektor habe ich dir doch vollständig vorgerechnet:

I(x²)=∫¹ _-1 x² dx  = 1/3 x³ |_-1¹ = 1/3 - (-1/3) = 2/3 

Bei den andern Basisvektoren kann man die Symmetrie ausnützen oder nochmals gleich rechnen.  

---

Das es der dritter Vektor aus B sehe ich und die Rechnung ist mir auch verständlich aber leider sehe ich nicht wo die standardvektoren eingeflossen sind..

---

Die Standardbasis von R ist (1)

2 , 0, 2/3 und 0 sind 2*1 , 0*1, 2/3 * 1 und 0*1.

Bei der 2. Abbildung sind die resultierenden Vektoren

A(1)=( 1,1,1)

A(x)=(-1, 0 , 1) 

A(x²)=( 1,0,1) 

A(x³)=(-1, 0, 1)

bezüglich der Standardmatrix von R^3 dargestellt. [Vertikal hinschreiben]