Abbildungsmatrix Rechenweg zeigen

Question

Aufgabe:

\( \mathcal{B}:=\left(\left[\begin{array}{l}-2 \\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right]\right) \)

\( K_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}}:=\left[\begin{array}{cc}3 & 4 \\ 0 & -2\end{array}\right] \)

Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich nicht wie man diese Abbildungsmatrix berechnen kann? Kann mir jemand den Rechenweg zeigen?

Comments

Wie lautet die vollständige Aufgabe? Ich sehe in deinen Angaben keinen Sinn.

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Text erkannt:

Eine lineare Abbildung \( K: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) habe bzgl. der Basis
\( \mathcal{B}:=\left(\left[\begin{array}{r} -2 \\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right]\right) \)
die Abbildungsmatrix
\( K_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}}:=\left[\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{array}\right] \)
Des Weiteren sei die Basis
\( \mathcal{C}:=\left(\left[\begin{array}{l} -4 \\ -6 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 17 \\ 26 \end{array}\right]\right) \)
gegeben.
a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix \( K_{\mathcal{C} \leftarrow \mathcal{B}} \) von \( K \) bzgl. der Basis \( \mathcal{B} \) (im Urbildraum) und der Basis \( \mathcal{C} \) (im Bildraum).

Answer 1

Aloha :)

Du kennst die Abbildungsmatrix \(K_{B\leftarrow B}\).

Ihre Eingangs- und Ausgangsvektoren haben Komponenten bezüglich der Basis \(B\).

Zu bestimmen ist die Abbildungsmatrix \(K_{C\leftarrow B}\).

Wir müssen also die Ausgangsvektoren von \(K_{B\leftarrow B}\) in die Basis \(C\) transformieren:$$K_{C\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow B}\cdot K_{B\leftarrow B}$$

Wir suchen nun die Transforamtions-Matrix \(\operatorname{id}_{C\leftarrow B}\) von \(B\) nach \(C\).

Zu ihrer Berechnung nutzen wir aus, dass die Komponenten der Basisvektoren von \(B\) und von \(C\) beide bezüglich der kanonischen Standardbasis \(S\) angegeben sind. Wir kennen also die Transformations-Matrizen

$$\operatorname{id}_{B\leftarrow S}=\left(\begin{array}{rr}-2 & 1\\-2 & 2\end{array}\right)\quad;\quad \operatorname{id}_{C\leftarrow S}=\left(\begin{array}{rr}-4 & 17\\-6 & 26\end{array}\right)$$

Daraus erhalten wir die gesuchte Transformations-Matrix:$$\operatorname{id}_{C\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow S}\cdot\operatorname{id}_{S\leftarrow B}=\operatorname{id}_{C\leftarrow S}\cdot\left(\operatorname{id}_{B\leftarrow S}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}-13 & 15\\-20 & 23\end{array}\right)$$

Die gesuchte Abbildungsmatrix ist daher:$$K_{C\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rr}-13 & 15\\-20 & 23\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}3 & 4\\0 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-39 & -82\\-60 & -126\end{array}\right)$$