Gebe die Abbildungsmatrix bezüglich der Basen an.

Question

Aufgabe:

Mit den Vektoren
\( \mathbf{v}_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right), \mathbf{v}_{2}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \)
und
\( \mathbf{w}_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \mathbf{w}_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right), \mathbf{w}_{3}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \)
sei die lineare Abbildung \( T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) definiert durch
\( T \mathbf{v}_{1}=\mathbf{w}_{2}, \quad T \mathbf{v}_{2}=\mathbf{w}_{1}-2 \mathbf{w}_{3} . \)
a) Geben Sie die Abbildungsmatrix \( A \in \mathbb{R}^{3 \times 2} \) von \( T \) bezüglich der Basen
\( \mathcal{B}_{v}=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} \quad \text { und } \quad \mathcal{B}_{w}=\left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \mathbf{w}_{3}\right\} \)
an.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie ich vorzugehen habe bei der Aufgabe.

Danke im voraus.

Answer 1

Es gilt nach Angabe:
$$Tv_1=T\times\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\\2\end{matrix}\right)=w_2$$
$$Tv_2=T\times\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\\-1\end{matrix}\right)=w_1-2w_3$$

Wir brauchen aber die Bilder bezüglicher der kanonischen Basis (e_1=(1,0), e_2=(0,1)), um T zu bestimmen. Wir nutzen dafür die Linearität von T aus:
$$T\times\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)=T\times\left(\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)\right)=T\times (v_2-v_1)=T\times v_2 -T\times v_1=\left(\begin{matrix}3\\1\\-1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1\\2\\2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\\-3\end{matrix}\right)$$
$$T\times\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)=T\times\left(\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)-2\cdot\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)\right)=T\times (v_2-2v_1)=T\times v_2 -2\cdot T\times v_1=\left(\begin{matrix}3\\1\\-1\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}2\\4\\4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\\-5\end{matrix}\right)$$
Die gesuchte Matrix ist nun einfach, diese Ergebnisse als Spalten geschrieben:
$$T=\left(\begin{matrix}2&1\\-1&-3\\-3&-5\end{matrix}\right)$$
Ich empfehle die Matrix nochmal oben einzusetzen, um zu sehen, dass sie wirklich, das macht, was sie soll. LG