0 Daumen
590 Aufrufe

Hey Leute,

versuche gerade vezweifelt die folgende Aufgabe zu lösen, aber nach nunmehr einer Stunde bin ich einfach nur am verzweifeln.

Wäre super lieb, wenn einer von euch mir das Schritt für Schritt vorrechnen könnte


Bild Mathematik

Vielen lieben Dank

Tina

Gefragt von

y' = y(1-y)

dy/dx = y(1-y)         | Trennung der Variablen

1/(y(1-y))  dy = dx           | Integralzeichen ergänzen

∫ 1/(y(1-y)) dy = ∫ dx         | Tipp verwenden

∫ 1/(y) + 1/(1-y)) dy = ∫ dx  

∫ 1/(y) - 1/(y-1)) dy = x + C

ln|y| - ln|y-1|  = x + C

Ein Problem sehe ich nun darin, das noch nach y aufzulösen. ( mehrere Fälle) 

Es sei denn, man darf davon ausgehen, dass z.B. y≥1 ist. 

EDIT: Blaue Korrektur gemäss Folgekommentar. 

Hallo Lu,

> ∫ 1/(y(1-y)) dy = ∫ dx         | Tipp verwenden 

∫ (1/(y)  + 1/(1-y)) dy = ∫ dx   

... 

VlG Wolfgang

4 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort
Beantwortet von 65 k

Das Ergebnis kann man durch Kürzen durch c1 noch etwas schöner schreiben:
y = ex / (c2 + ex)   [ vgl. meine Antwort ]

Vorher stand hier "Kommentar gelöscht" , weil der Inhalt durch meine wesentlich ausführlichere Antwort ersetzt wurde.
Was soll also die völlig lächerliche SPAM-Markierung?

@ Grosserloewe

Wie sich aus meiner Antwort ergibt, ist z.B.  y = ex / (ex - 1) eine Lösung der DGL mit D = ℝ \ {0}.

Setzt man diese in deine Zeile 10 ein, ergibt sich  - ex = ex+c = ...   !?

EDIT: @Wolfgang. Markierung aufgehoben. Wenn du möchtest, dass ein Redakteur einen Post liest, meldest du. Dann kann er z.B. gelöscht werden. In dem Sinn hat der "Melder" wohl "Kommentar gelöscht" gemeldet.  

Wenn du möchtest, dass etwas ausgeblendet wird, sage in einem Folgekommentar bitte exakt, was. 

+1 Punkt

$$y'=y(1-y) \Rightarrow \frac{dy}{dx}=y(1-y) \Rightarrow \frac{dy}{y(1-y)}=dx \Rightarrow \left( \frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right) dy=dx \Rightarrow \int \left( \frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right) dy=\int dx \Rightarrow \ln{|y|}- \ln{|1-y|}=x+C$$

Beantwortet von 1,4 k
+1 Punkt

Hallo Tina,

bei der allgemeinen Lösung einer DGL spielen die Konstanten eine wesentliche Rolle. Deshalb sollte man sorgsam damit umgehen:

y' = y · (1-y)

dy/dx = y · (1-y)

∫ 1 / [ y · (1-y) ] dy  =  ∫ dx        [ y≠0  und y≠1 ,  vgl.  unten bei  # ]

∫ [ 1/y + 1/ (1-y) ] dy  = ∫ dx

ln(|y|) - ln(|1-y|) = x + c1                                     mit c1 ∈ ℝ

ln( |y| / |1-y| )  =·ln( | y / (1-y) | )  = x + c1

 | y / (1-y) |  =   x + c

y / (1-y)  = ± ex+c1 = ± ec1 · ex = c2 · ex          mit  ± ec1  =  c2 ∈ ℝ \ {0}

y = c2 · ex · (1-y) 

y  =  c2 · ex -  c2 · ex · y

y + c2 · ex · y  =  c2 · ex 

y · (1 +  c2 · ex)  = c2 · ex 

y  =   c2 · ex /  (1 +  c2 · ex)   =  ex / (c + ex)     mit 1/c2  =  c ∈ ℝ \ {0}

# Man sieht durch Einsetzen in die DGL leicht, dass auch  y = 1 [c=0]  eine Lösung der DGL ist.  y=0 kann offensichtlich nicht vorkommen. 

→  Allgemeine Lösung:  y = ex / (c + ex)   mit c∈ℝ  und 

                  Dy = ℝ  für c≥0     ,  Dy =  ℝ \ {ln(-c)}  für c<0

Gruß Wolfgang

Beantwortet von 70 k
+1 Punkt

  Das Integral auf der linken Seite geht mit Teilbruchzerlegung; Geheimtipp: Die Metode, welche in diesem Forum schon vorgestellt wurde als Abdecker-oder Zuhälterverfahren.

Beantwortet von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...