Komplexe Zahlen Polardarstellung. w^3=-8i Lösungen berechnen und zeichnen.

Question

Zeichnen Sie die Lösungen der Gleichung w³=-8i in die komplexe Zahlebene ein.

Was ich bis jetzt gemacht habe:

z =: w³=-8i

|z|=√(0^2+8^2)=8

Die Berechnung des Winkels φ hängt vom Quadrant ab. In diesem fall liegt z im 3. Quadranten?

Comments

Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z, welche z^3 = -8i erfüllen. Geben Sie die Lösung in Polarkoordinaten an und skizzieren sie die lsung in der gaußschen zahlenebene.

z=  dritte wurzel aus √(-8i)

r= 8

IzI= 2

ρ= arccos(a/r) = 1/8 wie komme ich jetzt auf den richtigen winkel

z= 2 * cos ( ρ + 2πk/3) + i*sin ( ρ + 2πk/3)

Danke:))

Answer 1

Das z liegt auf der negativen i-Achse, also Winkel 270°.

Und wenn du das w auch noch brauchst:

Eine Lösung ist  3.Wurzel (8) mal ( cos(90°) + i* sin(90°)  =  2i

[ 90° wegen 270:3 ]

Answer 2

w³=-8i

arg(-8i) = 3π/2

|-8i| = 8

w1 = 2 * e^{iπ/2} = 2i

w2 = 2 * (e^{iπ/2  + 2πi/3} )

w3 = 2 * (e^{iπ/2 + 4πi/3} )

Wie du w2 und w3 einzeichnen kannst, siehst du hier am Bsp. für w2:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2+*+(e%5E(i%CF%80%2F2++%2B+2%CF%80i%2F3)+)

Comments

Hallo Lu,

ich habe die gleiche aufgabezu lösen aber irgednwie habe ich sie falsch gelöst.

r= √(-8)^2 =  8

IzI= die dritte wurzel aus 8 = 2

ρ= arccos(a/r) = 1/8 ??

warum ist der betrag von z bei dir 8.

danke

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" r= √(-8)² =  8             | Meine Rechnung

IzI= die dritte wurzel aus 8 = 2            

ρ= arccos(a/r) = 1/8 ?? + 

" warum ist der betrag von z bei dir 8? "  Ist er doch nicht. r ist der Betrag von z= w^3. Der Betrag von w ist 2. Deshalb steht bei w1 , w2 und w3 jeweils ein Faktor 2. 

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dake dir und wie berechnet man ρ? ich kenne nur die formel: arccos(a/r)

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Bestimme erst mal das Argument von z = w^3. Deine Formeln sind nur im ersten Quadranten wasserdicht.

Das hat mathef erklärt: "Das z liegt auf der negativen i-Achse, also Winkel 270°."

Bei mir steht dazu: arg(-8i) = 3π/2 

Nun versuchen wir dasselbe mit deiner Formel für 

w^3 = z = 0 -8i  

arg(w^3) = arccos( 0/8) = arccos(0) = 90° = π/2. Also falsch. Du musst selbst wissen, dass auch cos(3π/2) =0. 

Bei w^3 = z = 0 -8i   musst du selbst wissen, dass nur 3π/2 als Argument (Winkel) in Frage kommt. 

Lies nun mit diesem Wissen nochmals alle vorhandenen Antworten.  

Du musst jetzt den gefundenen Winkel durch 3 Teilen und kannst dann beliebig oft 2π/3 addieren. Die 3. Wurzeln aus einer komplexen Zahl bilden jeweils in der komplexen Zahlenebene die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks. 

Answer 3

hier eine allgemeine Anleitung für solche Gleichungen (auch für spätere Fälle):

(Schreibweise in der Aufgabe:  z ↔ w  ;   w = -8i   → a = 0 und b = -8 ; n = 3)

Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w     [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]

w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^i ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus den Formeln

r = √(a² +b²)  und  φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0  [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] ausrechnen.

Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

[ Die Eulersche Form ist  jeweils  z_k =  ⁿ√r · e^{i·(φw+k·2π)/n} ]

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Wenn du dann zeichnen musst:

Dann hast  du den Betrag ⁿ√r  und den Winkel φ₀ = arccos(φ_w / n)  von z₀ . 

φ₀ musst du vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen   [ GM  =  BM · 180° / π ]

 Damit kannst du den Pfeil von z₀ in der komplexen Zahlenebene einzeichnen 

( |z₀| = Länge, φ₀ = Winkel mit der positiven x-Achse).

Jetzt drehst du diesen Pfeil insgesamt  (n-1)-mal immer um φ₀ weiter und erhältst die Pfeile von z₁ bis z_n-1

Gruß Wolfgang