Komplexe Zahlen (Polardarstellung, Betrag, Argument)

Question

Hallo!

Aufgabe: Man soll hier die Polardarstellung, Betrag und Argument des Produktes bestimmen. Das habe ich auch getan, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich richtig vorgegangen bin. Könnt ihr mal bitte einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben und ggf. meine Fehler korrigieren?

Problem/Ansatz:

a) \( (1+i \sqrt{3})\left(2 e^{-\frac{\pi}{2} i}\right) \)
\( |z|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 \)
\( \arg (z)=+\arccos \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{3} \)
\( z=2 e^{i \frac{\pi}{3}} \Rightarrow \)
\( (1+i \sqrt{3}) \cdot\left(2 e^{-\frac{\pi}{2} i}\right) \cdot 2 e^{i \frac{\pi}{3}} \cdot 2 e^{-i \frac{\pi}{2}}=4 e^{-\frac{\pi}{6}}=z \)

b) \( (-2-2 i)\left(2 e^{-\frac{\pi}{2}} i\right) \)
\( |z|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}=\sqrt{4 \cdot 2}=2 \cdot \sqrt{2} \)
\( \arg (z)=-\arccos \left(\frac{-\not 2}{\not 2 \cdot \sqrt{2}}\right)=-\arccos \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)
\( =-\frac{\pi}{4} \)
\( z=2 \cdot \sqrt{2} \cdot e^{-i \frac{\pi}{4}} \Rightarrow \)
\( (-2-2 i)\left(2 e^{-\frac{\pi}{2} i}\right)=\left(2 \cdot \sqrt{2} \cdot e^{-i \frac{\pi}{4}}\right) \cdot\left(2 e^{-\frac{\pi}{2} i}\right) \)
\( =4 \cdot \sqrt{2} \cdot\left(e^{-i \frac{\pi}{4}} \cdot e^{-\frac{\pi}{2} i}\right) \)
\( =4 \cdot \sqrt{2} \cdot e^{\left(-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\right) i} \)
\( =4 \cdot \sqrt{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4} i} \)

Answer 1

Ich finde, dass das ganz gut aussieht, allerdings

verwendest du das z (z.B. in a) )  für verschiedene

Dinge. Zuerst ist \( z= 1+i \sqrt{3}\)

und am Ende \(4 e^{-\frac{\pi}{6}}=z \). Das würde ich etwas anpassen

und auch ein Ergebnis formulieren, etwa so

Polardarstellung des Produktes \(4 e^{-i\frac{\pi}{6}} \). Da fehlte i.

Also Argument \(-\frac{\pi}{6}\) und Betrag 4.

Comments

stimmt, das muss ich noch anpassen, danke dir mathef!