Regel de l'Hospital anwenden

Question

Hallo

Ich benötige  Hilfe beim lösen folgender Aufgabe

Berechnen sie sie folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Regeln von der l'Hospital.

a.

Lim(x--> 0)  sin (x) / x

Sinus (x) beim Lim(x-->0) konvergiert gg 0

Muss man das x im Nenner als x sehen oder als 1/x es konvergiert doch auch gg 0 also man setzt doch 0 ein

Jetzt die Regel anwenden:

Lim (x-->0) -cos (x) / 1

-cos (x) konvergiert gg -1 und 1 ist eine konstante und konvergiert auch gg 0 daher ist der Grenzwert -1.

B. Lim (x-->0) sin (x) / x^2

Wohin konvergiert x^2 auch 0? 0^2?

Regel anwenden:

Lim (x-->0) -cos (x) /2x = -1/ 0 aber das geht doch nicht man darf ja nicht durch 0 dividieren.

C. Lim (x-->∞) x / ( e^{x} - e^{-x}  )

X konvergiert gg ∞ und e^x ebenfalls, e^-x konvergiert gg 0

Dann:

Lim (x-->∞) 1/ (e^x + e^-x) --> 1/∞ + 0

Geht das? Oder könnte mir jemand erklären wie man das macht?

Danke:)

Answer 1

Hallo Samira,

Berechnen sie sie folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Regeln von der l'Hospital.

a. 

Lim(x--> 0)  sin (x) / x 

Sinus (x) beim Lim(x-->0) konvergiert gg 0

Muss man das x im Nenner als x sehen oder als 1/x es konvergiert doch auch gg 0 also man setzt doch 0 ein    als x

Jetzt die Regel anwenden:

Lim (x-->0) - cos (x) / 1   Die Ableitung von sin(x) ist cos(x) 

-cos (x) konvergiert gg -1 und 1 ist eine konstante und konvergiert auch gg 0 daher ist der Grenzwert -1.   1

B. Lim (x-->0) sin (x) / x²  

Wohin konvergiert x² auch 0? 0²?   0² = 0 , also  0

Regel anwenden:

Lim (x-->0) - cos (x) /2x = " -1/ 0 "   " 1/0 "   aber das geht doch nicht man darf ja nicht durch 0 dividieren.

Deshalb schreibt man die Anführungszeichen, der illegale Term dient der Vorstellung

Da wegen -1 ≤ cos(x) ≤ 1 der Zähler beschränkt ist und der Nenner gegen 0 strebt, strebt der Bruch gegen ± ∞ , je nachdem von welcher Seite sich x der 0 nähert.

C. Lim (x-->∞) x / ( e^x - e^-x  )

X konvergiert gg ∞ und e^x ebenfalls, e^-x konvergiert gg 0

Dann:

Lim (x-->∞) 1/ (e^x + e^-x) --> "1/ (∞ + 0)" , also gegen 0

Gruß Wolfgang

Comments

Aber uns wurde gesagt 0 darf nicht im Nenner auftauchen und muss soll mit Tricks das umformuöieren

Z.b. lim (x--> -∞) e^x / (1/x)

Lim (x-->∞) e^x / (-1/x^2) beides würde gg 0 konvertieren.  Aber man macht diesen schritt:

Lim (x->∞) x/ e^-x   = > 1/ -e^-x  = 1/∞=0

Mich verwirrt es dass man Zähler und Nenner tauschen kann

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Aber uns wurde gesagt 0 darf nicht im Nenner  auftauchen und muss soll mit Tricks das umformuöieren 

Z.b. lim (x--> -∞) e^x / (1/x) 

Lim (x-->∞) e^x / (-1/x²) beides würde gg 0 konvertieren.  Aber man macht diesen schritt:

Lim (x-->∞) e^x = ∞  und  Lim (x-->∞)  -1/x²  = 0      

→ Lim (x-->∞) e^x / (-1/x²)  hat die Form   "  ∞ / 0 "    (keine Hospital-Form!)

=   Lim (x-->∞) [  e^x · (- x²) ]   =  " ≈ · (- ∞) "   = - ∞

[ die "Hospital-Formen" sind  " 0 / 0 " und " ∞ / ∞ " ]

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Lim (x->∞)  x /  e^-x   =  Lim (x->∞) [  x  · e^x ]  =  " ∞ · ∞ "  =  ∞

Answer 2

Meine Berechnung:

Comments

Ist mein 3. falsch? Ich komme auch auf den Grenzwert 0 aber der reihenweise ist anders

Answer 3

merke dir:

im limes x gegen  0 verhält sich sin(x) wie x.

Deshalb ist limes x--> 0 sin(x)/x=lim x--> 0 x/x=1

Gleiches gilt für sin(x)/x^2~x/x^2=1/x

--> lim x --> 0 sin(x)/x^2 existiert nicht

bei e^x kann man nutzen, dass sich e^x im limes gegen 0 wie 1+x verhält

---> lim x--> 0 x/(e^x-e^{-x})=lim x--> 0  x/(1+x-(1-x))=lim x--> 0  x/(2x)=1/2

Comments

Achso da steht lim gegen unendlich bei der letzten Aufgabe ^^:

 lim x--> ∞ x/(e^x-e^{-x})

e^{-x} strebt gegen 0 , der andere e-Term wächst stärker als die Potenz im Zähler -->

 lim x--> ∞ x/(e^x-e^{-x})=0