Grenzwerte mit der Regel von de l’Hospital und Induktion

Question

Hallo zusammen! Könnte mir eventuell jemand bei meiner Aufgabe helfen, damit ich diese besser verstehe?

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von de l’Hospital:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{e^{2 x}} \)

(in Abhängigkeit von der ganzen Zahl n >=  0)

Als Tipp war gegeben, dass diese Aufgabe mithilfe der Induktion gelöst werden soll...

LG & danke mit Voraus!

Answer 1

Beh.: Der Grenzwert ist 0 für alle n .

Ind.anfang:  Für n=0 hast du \(\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{e^{2 x}} \)

Der Zähler ist konstant, Nenner geht gegen unendlich,

also Grenzwert 0.

Sei es für n erfüllt, dann gilt also \(\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{e^{2 x}} =0\).

Dann folgt \(\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{n+1}}{e^{2 x}} \) ist vom Typ: unendlich durch unendlich,

also Hospital anwendbar.

Das liefert mit den Ableitungen von Zähler und Nenner

 \(\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{(n+1)\cdot x^{n}}{2 \cdot e^{2 x}} = \frac{n+1}{2}\cdot \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{n}}{e^{2 x}} =\frac{n+1}{2}\cdot 0 = 0 \)