Monotonieverhalten, Extremastellen, Taylorpolynom 2.Ordnung

Question

Die Funktion f:  ) 3,7) --> ℝ sei gegeben durch f(x) = e^x / ( x-3)

1. Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von f

es gilt ja:

f ' (x) > 0 monotonsteigend

f ' (x) < 0 monotonfallend

f ' (x) = e^x  + (x-3) - e^x / (x-3)²

= e^x / (x-3)  - e^x / (x² - 6x + 9)

nun f' (x) = 0

e^x / (x-3)  - e^x / (x² - 6x + 9) = 0

aber wie löst man das hier, ich komme hier echt nicht weiter

ich habe mir gedacht man arbeitet mit den nullstellen der gleichungen im nenner bei beiden ist die nullstelle x=3.

b) Untersuchen Sie die funktion auf globale Extrema. Bestimmen Sie die Extremstellen.

Das kann cih ja erst machen wenn ich die gleichung f '(x) = 0 gelöst habe. denn dann kann ich das Ergebnis die 2. ableitung einsetzten und dann schauen ob es <0 oder >0 ist.

f '' (x) =  e^+(x-3) -e^x / (x-3)²  -  e^x(x-3)²-e^x*2x-6 / (x² -6x + 9)²

kann man das vereinfachen?

3. Stellen Sie zu f das Taylorpolynom 2.ordung mit entwichlungspunkt x0=4 auf.

T2 (x) = e⁴  + e⁴ -e⁴(x-4) +  ( e⁴-e⁴/( 1) -   e4-e⁴*24-6/ (1 ) ) / 2!  * (x-4)²

= e⁴  + 0 + -2/2 (x-4)²

Danke für deine hilfe:)

Answer 1

a)

f(x)=e^x/(x-3)

f'(x)=(e^x*(x-3)-e^x)/(x-3)²>0

e^x*(x-3)-e^x>0

x>4

Also für x∈[4,7)

monoton wachsend

analog für x∈(3,4) monoton fallend

b) f'(x)=0 für x=4

f''(x)={(e^x*(x-4)+e^x)*(x-3)²-2*e^x*(x-4)*(x-3)}/(x-3)⁴

f''(4)=e⁴>0 --> Minimum

Das globale Maximum bekommst du mit den Randwerten von f(x)

c) f(4)=e⁴

f'(4)=0

f''(4)=e⁴

Tf(x)=e⁴+e⁴*(x-4)²/2

Comments

danke,

könntest d ir bitte sagen wei du von dem schritt zu dem anderen kommst

zu a)

f'(x)=(e^x*(x-3)-e^x)/(x-3)²>0 den nächsten schritt kann ich nicht nachvollziehen

e^x*(x-3)-e^x>0

x>4    wie kommst du auf deise lösung?

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(e^x*(x-3)-e^x)/(x-3)²>0 | *(x-3)²

(x-3)² ist immer größer als 0

Ich habe beide Seiten daher mit (x-3)² multipliziert

(e^x*(x-3)-e^x)>0 | :e^x

e^x ist  immer größer als 0 , deshalb darf man durch e^x teilen

(x-3)-1>0

x-4>0

x>4