Wie bestimme ich das Taylorpolynom 1.Ordnung von f(x,y) = sin(2x+y)?

Question

Man betrachtet eine Funktion f:ℝ² → ℝ mit f(x,y) = sin(2x+y).

Bestimme das Taylorpolynom 1.Ordnung T₁(f) von f im Entwicklungspunkt (1,-2).

Comments

Welche Formel für die Taylorentwicklung einer Funktion mit 2 Variablen kennst du?

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Ich habe jetzt die Funktion abgeleitet

f ' = 2cos(2x+y)

f '' = -4sin(2x+y)

Jetzt habe ich gerade nur die Formel vor mir mit dem man das Polynom 2 Grades bestimmt, ist die Formel für 1.Grades, dann f ' (1)(x-p) + f (p) ?

Answer 1

Aloha :)

Im Mehrdimensionalen ist das Taylorpolynom 1-ter Ordnung um den Entwicklungspunkt $\vec x_0$$$f(\vec x)\approx f(\vec x_0)+\operatorname{grad}f(\vec x_0)\cdot(\vec x-\vec x_0)$$

Du brauchst also Funktionswert und den Gradienten an der Stelle $\vec x_0=(1;-2)$:$$f(\vec x_0)=f(1;-2)=\sin(2\cdot1-2)=\sin0=0$$$$\operatorname{grad}f(\vec x)=\binom{\cos(2x+y)\cdot2}{\cos(2x+y)\cdot1}\implies\operatorname{grad}f(\vec x_0)=\binom{2\cos0}{\cos0}=\binom{2}{1}$$Damit lautet die erste Taylor-Näherung:

$$f(\vec x)\approx0+\binom{2}{1}\cdot\left(\binom{x}{y}-\binom{1}{-2}\right)=\binom{2}{1}\cdot\binom{x-1}{y+2}=2(x-1)+y+2=2x+y$$

Comments

Eine Frage hätte ich,

grad f (x) = $\begin{pmatrix} cos(2x+y)*2)\\cos(2x+y)*1\end{pmatrix}$, ist das die partielle Ableitung von sin(2x+y), weil ich bekomme, wenn das die Ableitung ist für das erste 2cos(2x+y) heraus anstand cos(2x+y) oder gehört das * 2 deswegen dazu? und wie bist du auf $\begin{pmatrix} 2cos0\\cos0 \end{pmatrix}$ gekommen ?

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Das "mal 2" ist die innere Ableitung, weil es ja $2x$ heißt.

$$\frac{d}{dx}(\sin(2x+y))=\underbrace{\cos(2x+y)}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{2}_{=\text{innere}}$$

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ahh oki verstehe, Dankeschöön!!