Bestimme die Q-Dimension von:

Question

Bestimme die \(\mathbb{Q}\)-Dimension  der folgenden Vektorräume:

1.) $$V=(a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt4|a,b,c,d \in \mathbb{Q})$$

2.) $$V=\mathbb{Q}[t]$$

3.)$$ V=\mathbb{R}$$

Answer 1

a + b√2 +c√3  + d√4 = 2d +a + b√2 +c√3

= (2d+a) * 1 + b√2 +c√3

also ist 1 ; √2   ; √3  eine Basis und damit dim=3

Die anderen beiden sind unendlichdimensional, da z.B.

bei 2 die Polynome 1 ; t ; t^2 : t^3 ; ...  lin. unabhängig sind

und bei

3 die Zahlen √p  mit p Primzahl.