Stochastik. Aus wie vielen Sätzen wird ein solches Spiel im Mittel bestehen?

Question

in einem volleyballturnier treffen zwei gleichstarke Mannschaften aufeinander. das spiel ist gewonnen wenn drei Sätzen gewonnen wurden ein spiel besteht also aus mindestens 3 Sätzen und höchstens 5 aus wie vielen  Sätzen wird ein solches spiel im Mittel bestehen?                                                                                                                                ich bin leider sehr schlecht in mathe und kann mit der Aufgabenstellung überhaupt  nichts anfange es waere sehr nett wenn jmnd mir helfen koennte

Answer 1

Die Zufallsgröße X sei die Anzahl der Sätze.

Die Wahrscheinlickeit, dass Mannschaft 1 die ersten 3 Sätze gewinnt, ist 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8. Die Wahrscheinlickeit, dass Mannschaft 2 die ersten 3 Sätze gewinnt, ist ebenfalls 1/8.

        P(X=3) = 2·1/8 = 1/4

Wenn vier Sätze benötigt werden, damit Mannschaft 1 gewinnt, dann gewinnt Mannschaft 2 genau einen Satz. Das kann der erste, zweite oder dritte Satz sein. In allen diesen drei Fälle ist die  Wahrscheinlichkeit, dass es zu dieser Konstellation kommt 1/2 · 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/16. Gleiches gilt, wenn vier Sätze benötigt werden, damit Mannschaft 2 gewinnt.

        P(X=4) = 2·3·1/16 = 3/8

In den restlichen Fällen werden fünf Sätze benötigt.

        P(X=5) = 1 - 1/4 - 3/8 = 3/8

Die zu erwartende Anzahl Sätze bekommt man, indem man die Anzahl der Sätze mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert und dann addiert.

        E(X) = 3·1/4 + 4·3/8 + 5·3/8 = 33/8 = 4,125