Funktionsgleichung für symmetrischen Graphen mit .... bestimmen

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y- Achse, hat in H(2|-2) einen Hochpunkt und in T(0|-3) einen Tiefpunkt.

Brauche Hilfe! Wenn möglich die Schritte ausführlich erklärt!

Answer 1

wegen Symmetrie Ansatz  f(x) = ax^4 + bx^2 + c

H ⇒ f ' (2 ) = 0   und  f( 2) = -2

T ⇒ f ' (0 ) = 0   und  f( 0) = - 3

mit f ' ( x) = 4ax^3  +2bx  hast du

          32a + 4b = 0     und  0 = 0

und    mit  f     16a + 4b + c = -2  und     c= -3

also bleibt

                     32a + 4b = 0
          und    16a + 4b  = 1         subtrahieren gibt

           16a = -1            a= -1 / 16

                                     b = 1/2

also   f(x) =  -1 / 16 x^4   + 1/2  x^2   - 3 

sieht so aus     ~plot~ -1/16 x^4 + 1/2 x^2 - 3 ~plot~

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist symmetrisch zur y- Achse, 

Ansatz: y = ax^4 + bx^2 + c

y ' = 4ax^3 + 2bx^2 

hat in H(2|-2) einen Hochpunkt und in T(0|-3) einen Tiefpunkt.

Die Ableitung hat die Nullstellen x1 = 0 und x2 = 2 und aus Symmetriegründen auch bei x3=-2.

Also 

y ' = q*x*(x-2)*(x+2) = q * (x^3 - 4x) = qx^3 - 4qx

==> 

4a = q und 2b = - 4q .... => y = .... 

oder einfach mal y ' integrieren.

y = q/4 x^4 - (4q)/2 x^2 + c 

y = q/4 * x^4 - 2q * x^2 + c 

T einsetzen==> c =-3.

y = q/4 * x^4 - 2q * x^2 - 3    

H einsetzen

-2 = q/4 * 16 - 2q* 4 -3

1 = 4q - 8q 

1 = -4q

-1/4 = q

y = (-1/4)/4 * x^4 - 2(-1/4) * x^2 - 3

y = -1/16 x^4 + 1/2 x^2 -3

Ohne Gewähr. Bitte selber nachrechnen.

Kontrolle mit Plotter zeigt:

~plot~ -1/16 x^4 + 1/2 x^2 -3 ~plot~

Comments

T(0 ; -3 ) ???

Answer 3

Da die Funktion achsensymmetrisch ist, gibt es nur gerade Exponenten,  also y=ax^4+bx^2+c. Durch den angegebenen y Achsenabschnitt (0/-3) Ergibt sich direkt c=-3. Nun den Punkt P zunächst mal einsetzen.

-2 = a*2^4 + b*2^2 -3

16a + 4b = 1  (I)

Nun die erste Ableitung verwenden

y' = 4ax^3 + 2bx

Den hochpunkt einsetzen

4*-8*a - 4*b = 0  (II)

-8a = b

Einsetzen in (I)

16a - 32a = 1

a = -1/16

b = 1/2

y = -1/16*x^4 + 1/2*x^2 - 3