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Aufgabe:


Es ist bekannt, dass jede reelle symmetrische n×n n \times n - Matrix ausschließlich reelle Eigenwerte hat.

Weisen Sie zunächst nach, dass eine reelle Matrix im Allgemeinen keine reellen Eigenwerte hat.

Zeigen Sie dies anhand der Matrix Rπ/2 \mathcal{R}_{\pi / 2} (0110) \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Was steckt geometrisch dahinter?


Die Matrix

  Rπ/2 \mathcal{R}_{\pi / 2} = (0110) \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

stammt aus der Drehtmatrix

 Rθ : =(cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)) \mathcal{R}_{\theta}:=\left(\begin{array}{cc}{\cos (\theta)} & {-\sin (\theta)} \\ {\sin (\theta)} & {\cos (\theta)}\end{array}\right) .



Wie muss ich hier vorgehen?

Wie sieht der Weg aus um dies nachzuweisen?

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Wenn das char. Polynom keine reellen Nullstellen hat,

hat, die Matrix auch keine reellen Eigenwerte

Ein Beispiel ist Rπ/2 ; denn das hat das Polynom

 x2 + 1  ohne reelle Nullstellen.

Geometrisch ist das ja die 90°-Drehung um den Nullpunkt.

Hätte die einen Eigenwert k dann müsste für die

zugehörigen Eigenvektoren v  gelten :

Ihr Bild ist k*v, es wären also Original und Bildvektor parallel

was bei einer 90°-Drehung nicht möglich ist.

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