Eigenwerte von symmetrischen Matrizen

Question

Aufgabe:

Es ist bekannt, dass jede reelle symmetrische $n \times n$ - Matrix ausschließlich reelle Eigenwerte hat.

Weisen Sie zunächst nach, dass eine reelle Matrix im Allgemeinen keine reellen Eigenwerte hat.

Zeigen Sie dies anhand der Matrix $\mathcal{R}_{\pi / 2}$ = $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Was steckt geometrisch dahinter?

Die Matrix

  $\mathcal{R}_{\pi / 2}$ = $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

stammt aus der Drehtmatrix

 $\mathcal{R}_{\theta}:=\left(\begin{array}{cc}{\cos (\theta)} & {-\sin (\theta)} \\ {\sin (\theta)} & {\cos (\theta)}\end{array}\right)$.

Wie muss ich hier vorgehen?

Wie sieht der Weg aus um dies nachzuweisen?

Answer 1

Wenn das char. Polynom keine reellen Nullstellen hat,

hat, die Matrix auch keine reellen Eigenwerte

Ein Beispiel ist R_π/2 ; denn das hat das Polynom

 x² + 1  ohne reelle Nullstellen.

Geometrisch ist das ja die 90°-Drehung um den Nullpunkt.

Hätte die einen Eigenwert k dann müsste für die

zugehörigen Eigenvektoren v  gelten :

Ihr Bild ist k*v, es wären also Original und Bildvektor parallel

was bei einer 90°-Drehung nicht möglich ist.