Zeige: Die symmetrischen Matrizen bilden einen Untervektorraum

Question

Sei U ⊂ Matn(K) die Teilmenge aller symmetrischen Matrizen

A = (λij ), also λij = λji fur alle Indices 1 ≤ i, j  ≤ n.
(i) Verifizieren Sie, dass diese Teilmenge ein Untervektorraum ist.
(ii) Bestimmen Sie dimK(U), indem Sie eine Basis A1, A2, . . . für U angeben.

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Vom Duplikat:

Titel: Lineare Algebra: Sei U ⊂ Matn(K) die Teilmenge aller symmetrischen Matrizen ...

Stichworte: lineare-algebra

Aufgabe:

Sei U ⊂ Matn(K) die Teilmenge aller symmetrischen Matrizen

A = (λij ), also λij = λji fur alle Indices 1 6 i, j 6 n.
(i) Verifizieren Sie, dass diese Teilmenge ein Untervektorraum ist.
(ii) Bestimmen Sie dimK(U), indem Sie eine Basis A1, A2, . . . für U angeben.

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Hallo

die Frage ist schon hier gestellt, schließ dich dort an:

https://www.mathelounge.de/598860/lineare-algebra-matn-teilmenge-aller-symmetrischen-matrizen#c599033

Gruß lul

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Neue Version ist viel besser lesbar. Bitte in Zukunft keine Duplikate mehr einstellen.

@emma1994 und inter1996: Schaut jeweils erst, ob jemand von euch zwei die Frage bereits gestellt hat. Vielleicht gibt es dann bereits eine Antwort oder Rückfragen, wie diesmal.

Answer 1

Hallo

1. was genau soll "alle Indices 1 6 i, j 6 n." bedeuten?

2. Wenn 1 klar ist schreib es dir erstmal für n= 2 und 3 auf, dann zeigen dass es UVR ist also Summe und Produkt mit k wieder im UR. das kann man sehr leicht dann auf beliebiges n erweitern,

ebenso für ii)

Wenn du dabei Schwierigkeiten hast, schreib auf was du hast und frage nach.

Gruß lul

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Sei U ⊂ Matn(K) die Teilmenge aller symmetrischen Matrizen

A = (λij ), also λij = λji fur alle Indices 1 ≤ i, j  ≤ n.
(i) Verifizieren Sie, dass diese Teilmenge ein Untervektorraum ist.
(ii) Bestimmen Sie dimK(U), indem Sie eine Basis A1, A2, . . . für U angeben.

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Hallo

 hast du es nun für n=3 und 4 mal gemacht oder versucht?

lul

Answer 2

A = (λij ), also λij = λji fur alle Indices 1 ≤ i, j  ≤ n.
(i) Verifizieren Sie, dass diese Teilmenge ein Untervektorraum ist.

Jeden falls ist die 0-Matrix darin und wenn für zwei Matrizen A und B

die Voraussetzung erfüllt ist (also etwa für λij  und μij , dann auch für ihre Summe; denn die

Matrixelemente der Summe sind ja immer λij + μij das ist gleich  μij + λij ;

denn wenn bei zwei Summen die Summanden paarweise gleich sind, dann sind

auch die Summen gleich.

Ebenso ist es bei der Multiplikation einer solchen Matrix mit einer reellen Zahl x :

Wenn die Matrix A aus U ist, dann auch x*A ∈ U.

(ii) Bestimmen Sie dimK(U), indem Sie eine Basis A1, A2, . . . für U angeben.

Betrachte alle Matrizen, die auf oder unterhalb der Hauptdiagonalen an einer

Stelle a_i,j eine 1 haben und an der "gegenüberliegenden" , also a_j,i = 1 und sonst

überall 0en.  Von diesen Matrizen gibt es

(n^2 -n) / 2  [ die unterhalb der Hauptdiag. .. ]

und n, die auf der Hauptdiag. .

Also insgesamt   (n^2-n) / 2   + n

              =  ( n^2 + n ) / 2

Stück.   Die bilden eine Basis, also ist die Dimension

      (n^2 +n) / 2