Komplexe Lösung der Gleichung (z+1)^3=-2+2i berechnen

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Hi,

ich habe die Gleichung: (z+1)^3=-2+2i und möchte die Komplexen Lösungen bestimmen.

Wie ist das Vorgehen bei dieser Aufgabe?

Wäre es die Form (8+8i)^21 oder die Form z^2 = 2+i, dann wäre mir klar was gefordert ist, hier stehe ich aber etwas auf dem Schlauch...

Für jede Hilfe bin ich dankbar!

Gefragt 5 Sep 2016 von Fragensteller001

Das ist ein Verallgemeinerung dieser Fragestellung:  z2 = 2+i .

Versuche es mit den Formeln hier, wenn du noch keine Beispiele in deinen Unterlagen findest:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

Ich war etwas verwirrt, da ich anfangs nicht wusste, dass man auch die Wurzel von diesem Ausdruck (z+1)^3 ziehen kann. Bisher waren mir nur Aufgaben in der Form z^x bekannt. 
Aber dann lässt sich Moivre wieder anwenden, mit dem Hinweis, dass man die + 1 auf die andere Seite bringt. 
Danke!

Ja genau. " , mit dem Hinweis, dass man die + 1 auf die andere Seite bringt.   " kommt erst am Schluss ins Spiel. 

Mir gefällt da die Lösung von Grosserloewe mit der Substitution. Genau so ist es perfekt!

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

(z+1)^3=-2+2i rechte Seite in Exponentialform bringen

(z+1)^3=√8*e^(i*3*π/4) dritten Wurzeln ziehen

i) z+1=√2*e^(i*π/4)

ii) z+1=√2*e^(i*11π/12)

iii) z+1=√2*e^(i*19π/12)

zuletzt kannst du die 1 rüberbringen und eventuell noch in die kartesische Form umwandeln wenn du möchtest

Beantwortet 5 Sep 2016 von Gast jc2144 Experte XIII

Ah okay, also Formel von Moivre nutzen und anwenden.

Deine Rechnung ist nachvollziehbar!

D.h wie Lu schon eingangs erwähnte, ist (z+1)^3 eine andere Darstellung für (z)^3 //nur eben + 1 auf die andere Seite bringen.

+1 Punkt
Beantwortet 5 Sep 2016 von Grosserloewe Experte XLIV

Danke auch für deine Lösung Grosserloewe!

Ich habs gerade nochmal nachgerechnet, kann es sein, dass dort ein kleiner Dreher drin ist.


Für z0 komme ich auch auf: 1+j bzw: z+1=1+j --> z = j

Für z1 komme ich auf: -1,36+0,36j bzw z+1=-1,36+0,36j --> -2,36+0,36j (Da ja 1,414*cos(11pi/12))

Für z2: 0,36-1,36j bzw: z+1=0,36-1,36j --> -0,36-1,36j (Da hier 19pi/12)

Ich komme immer wieder auf mein Ergebnis

:-)

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