Komplexe Lösung der Gleichung (z+1)^3=-2+2i berechnen

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Hi,

ich habe die Gleichung: (z+1)^3=-2+2i und möchte die Komplexen Lösungen bestimmen.

Wie ist das Vorgehen bei dieser Aufgabe?

Wäre es die Form (8+8i)^21 oder die Form z^2 = 2+i, dann wäre mir klar was gefordert ist, hier stehe ich aber etwas auf dem Schlauch...

Für jede Hilfe bin ich dankbar!

Gefragt 5 Sep 2016 von Fragensteller001 1,5 k

Das ist ein Verallgemeinerung dieser Fragestellung:  z2 = 2+i .

Versuche es mit den Formeln hier, wenn du noch keine Beispiele in deinen Unterlagen findest:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

Ich war etwas verwirrt, da ich anfangs nicht wusste, dass man auch die Wurzel von diesem Ausdruck (z+1)^3 ziehen kann. Bisher waren mir nur Aufgaben in der Form z^x bekannt. 
Aber dann lässt sich Moivre wieder anwenden, mit dem Hinweis, dass man die + 1 auf die andere Seite bringt. 
Danke!

Ja genau. " , mit dem Hinweis, dass man die + 1 auf die andere Seite bringt.   " kommt erst am Schluss ins Spiel. 

Mir gefällt da die Lösung von Grosserloewe mit der Substitution. Genau so ist es perfekt!

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

(z+1)^3=-2+2i rechte Seite in Exponentialform bringen

(z+1)^3=√8*e^(i*3*π/4) dritten Wurzeln ziehen

i) z+1=√2*e^(i*π/4)

ii) z+1=√2*e^(i*11π/12)

iii) z+1=√2*e^(i*19π/12)

zuletzt kannst du die 1 rüberbringen und eventuell noch in die kartesische Form umwandeln wenn du möchtest

Beantwortet 5 Sep 2016 von Gast jc2144 20 k

Ah okay, also Formel von Moivre nutzen und anwenden.

Deine Rechnung ist nachvollziehbar!

D.h wie Lu schon eingangs erwähnte, ist (z+1)^3 eine andere Darstellung für (z)^3 //nur eben + 1 auf die andere Seite bringen.

+1 Punkt
Beantwortet 5 Sep 2016 von Grosserloewe 54 k

Danke auch für deine Lösung Grosserloewe!

Ich habs gerade nochmal nachgerechnet, kann es sein, dass dort ein kleiner Dreher drin ist.


Für z0 komme ich auch auf: 1+j bzw: z+1=1+j --> z = j

Für z1 komme ich auf: -1,36+0,36j bzw z+1=-1,36+0,36j --> -2,36+0,36j (Da ja 1,414*cos(11pi/12))

Für z2: 0,36-1,36j bzw: z+1=0,36-1,36j --> -0,36-1,36j (Da hier 19pi/12)

Ich komme immer wieder auf mein Ergebnis

:-)

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