Krümmung eines Graphen anhand Funktionsgleichung begründen

Question

Ich war die letzten Stunden krank und weiss leider  nicht wie man solch eine Aufgabe wie die 10 löst.

Vorallem bei b und c habe ich keine Ahnung.. !

Answer 1

Hi,

Aussagen über die Krümmung machst Du mittels.der zweiten Ableitung.

a) f(x) = x² + bx + c

f'(x) = 2x + b

f''(x) = 2

Da f''(x) > 0 für alle x haben wir generell eine Linkskurve.

b) f(x) = x³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3x² + 2bx + c

f''(x) = 6x + 2b

Da die zweite Ableitung linear ist,.gibt's min. einen Vorzeichenwechsel und damit einen Krümmungswechsel.

c) f(x) = x⁴ + bx²

f'(x) = 4x³ + 2bx

f''(x) = 12x² +2b

Null setzen:

12x² = -2b

x² = -1/6*b

x_(1,2) = ±√(-1/6*b)

Zwischen den Nullstellen ist unser f''(x) < 0. Wir haben eine Rechtskurve. Ansonsten eine Linkskurve. Sollte b positiv sein haben ebenfalls eine Linkskurve, ohne Wechsel der Krümmung  (Wurzel ist ja dann nicht definiert).

Erkennbar daran, dass man sich erinnert, dass die Funktion aus dem +Unendlichen kommt.

Grüße