Limes x*ln((x-1)/(x+1)) für x -> +unendlich

Question

He

 

ich hänge bei folgender Aufgabe. Man soll die Funktion x*ln((x-1)/(x+1)) gegen unendlich laufen lassen. Aber nichts was ich versuche scheint auf ein befriedigendes Ergebnis zu kommen. 

Abgesehen davon was ich auf dem Block probiert habe, habe ich auch noch versucht den Bruch zu erweitern, dann kam 2x/(x²-1) raus, was mir ungefähr gar nichts brachte.

Answer 1

lim (x->∞) x * ln((-1+x)/(1+x))

Substitution t = 1/x

=  lim (t->0) (ln((-1+1/t)/(1+1/t))) / t

=  lim (t->0) (ln((1-t)/(1+t)) / t

Regel von l'Hospital

=  lim (t->0) 2/(-1+t^2)

= -2

Answer 2

Eigentlich bist du schon recht weit gekommen. Wenn dir jetzt l'Hospital bekannt ist
kannst du ein Ergebnis finden.

  ( ln(x-1) - ln(x+1) ) / ( 1/x )   Ι   l'Hospital : Zähler und Nenner getrennt ableiten
  ( 1 / ( x-1) - ( 1/ ( x+ 1) ) / ( - 1/x^2 )
  Zähler zusammenfassen :  ( x + 1 - ( x - 1 ) ) / (  x^2 - 1 ) = 2 / ( x^2 - 1 )
  alles zusammenfassen : 2 / [ ( x^2 - 1 ) * ( -1/x^2 ) ]  Ι Nenner ausmultiplizieren
  2 / [  - x^2/x^2 + 1/ x^2 ]  Ι  lim x gegen ∞ für 1/x^2 = 0
  2 / [ -1 ]
  - 2

  mfg Georg

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Answer 3

Ich möchtes es einmal ohne l'Hospital versuchen, vielleicht entspricht das Deinem ursprünglichen Ansatz, den ich allerdings nicht so recht entziffern konnte.

$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \ln \frac{x-1}{x+1}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \ln \frac{x+1-1-1}{x+1}\right)=$
$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(x \cdot \ln \left(1-\frac{2}{x+1}\right)\right)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \ln \left(\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^{x}\right)=$
$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \ln \left(\frac{\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^{x+1}}{1-\frac{2}{x+1}}\right)=$
$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\ln \left(\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^{x+1}\right)-\ln \left(1-\frac{2}{x+1}\right)\right)=$
$\ln \left(e^{-2}\right)-\ln (1-0)=-2$

Beim Übergang zur letzten Zeile wird an einer Stelle sinngemäß die Folgendarstellung der Exponentioalfunktion genutzt:

$\exp (x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$