Steckbriefaufgabe. ganzrationale Funktion. Parallele zur x-Achse mit y = 2 schneidet Graphen im Wendepunkt.

Question

Ich benötige bitte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt im Punkt N (1;0) die x-Achse und hat im Punkt P (3;f(3)) eine horizontale Tangete. Die Parallele zur x-Achse mit y = 2 schneidet den Graphen in seinem Wendepunkt. 
Bestimme die Funktion

Bisher habe ich die Ansätze:

f (1)=0

f'(1)=0

f'(3)=0

Ich bitte um Hilfe wie es weiter und ob die Ansätze bisher überhaupt korrekt sind.

für Hilfe.

Comments

Parallele zur x-Achse mit y = 2 schneidet den Graphen in seinem Wendepunkt.  

Aus Symmetriegründen gilt nun wegen 

f '(1 ) = 0  und  f ' ( 3) = 0   (hast du schon)

und auch

f( 2) = 2 

und f(3) = 2+2 = 4 . 

Hast du nun genug Gleichungen? 

Answer 1

 

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

für die 4 Unbekannten  a,b,c und d benötigst du 4 Bedingungen

deine drei sind richtig:

f (1)=0

f'(1)=0

f'(3)=0

> Die Parallele zur x-Achse mit y = 2 schneidet den Graphen in seinem Wendepunkt.  

Mit Wendepunkt W(u|2) erhältst du eine weitere Unbekannte u aber zwei weitere Bedingungen, also 5 Gleichungen für 5 Unbekannte:

f(u) = 2   und  f "(u) = 0

Nachtrag:

( Lösung des Gleichungssystems vgl. meinen 2. Kommentar )

Gruß Wolfgang

Comments

Okay, vielen Dank schonmal.

Kann man dieses Gleichungssystem mit 5 Unbekannten nun mit dem Gauß-Algorithmus lösen, um die Koeffizienten und somit die Funktionsgleichung zu erlangen, oder gibt es eine andere Methode? (Ich erhalte mithilfe des Gauß-Algoritmus nämlich eine falsche Lösung)

MfG

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Wegen der u-Bedingungen ist das Gleichungssystem nicht linear

→  kein  Gauß-Algoritmus

Kümmere mich später noch darum (wenn sich bis dahin sonst niemand findet :-)), du kannst ja ggf. morgen früh wieder reinschauen.

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Okay, dachte ich mir schon.Dann bedanke ich mich nochmal herzlich für die Hilfe! :-)

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Wie versprochen:

in der Reihenfolge der in der Antwort genannten Bedingungen:

a + b + c + d = 0

3·a + 2·b + c = 0

18·a + 2·b = 0    →  b = - 9a

a·u³ + b·u² + c·u + d = 2

6·a·u + 2·b = 0   →  u = -1/3 · b/a = -1/3 · (-9a)/a =  3

u  und b  in 1. , 2. und  4. Gleichung  einsetzen:

- 8a + c + d = 0

 -15a + c = 0

-54a + 3c +  d = 2

Damit hast du ein lineares 3x3 Gleichungssystem für a,c und d

Lösung:

a = - 1/8  ;  c = - 15/8 ;  d = 7/8  ;   b = 9/8  ;   u = 3

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Aber die Idee von Lu bzw. Oswald mit der Symmetrie zum Wendepunkt hat sehr viel für sich!

Gruß Wolfgang

Answer 2

> Die Parallele zur x-Achse mit y = 2 schneidet den Graphen in seinem Wendepunkt.

Mit anderen Worten, der Wendepunkt hat einen Funktionwert von 2:

        f''(w) = 0

        f(w) = 2

Dadurch wird zwar eine neue Variable eingeführt (nämlich w), aber man bekommt dafür zwei neue Gleichungen.

Ein anderer Ansatz ist "jede ganzrationale Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt". Insbesondere liegt der Wendepunkt in der mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkt. Also muss w = (3+1)/2 = 2 sein. Dann kann auf die Gleichung f''(w) = 0 verzichtet werden.

Answer 3

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt im Punkt N \((1|0)\) die x-Achse und hat im Punkt P \((3|f(3))\) eine horizontale Tangente. Die Parallele zur x-Achse mit y = 2 schneidet den Graphen in seinem Wendepunkt.

berührt im Punkt N \((1|0)\) die x-Achse  → ist eine doppelte Nullstelle

Ich wähle die Nullstellenform der ganzrationalen Funktion 3. Grades:

\(f(x)=a[(x-1)^2(x-N)]\)

hat im Punkt P \((3|f(3))\) eine horizontale Tangente: 1.Ableitung

\(f'(x)=a[(2x-2)(x-N)+(x-1)^2\cdot 1]\)

\(f'(3)=a[4(3-N)+4]=a[16-4N]=0\)

\(N=4\)

\(f(x)=a[(x-1)^2(x-4)]\)

Die Parallele zur x-Achse mit y = 2 schneidet den Graphen in seinem Wendepunkt:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Somit ist W\((2|2)\) die Koordinate:

\(f(2)=a[(2-1)^2(2-4)]=-2a=2\)

\(a=-1\)

\(f(x)=-(x-1)^2(x-4)\)