Extremstellen Hoch und Tiefpunkt bestimmen

Question

Nochmal ich mit einer kleinen Frage :)

Ich habe bei einer gebr. ration. Funtkion die Extrema bei X1=-1 und X2=3 berechnet.

Um zu prüfen, ob ich eine hoch oder tiefpunkt habe, muss ich ja die ABleitung 0 setzen für die jeweilige Stelle.

Allerdings lautet meine 2. ABleitung   2/(x+1)^2

Wie prüfe ich nun die Bedingungen, wenn im Zähler kein X vorkommt sonden nur eine Konstante.

Answer 1

> Um zu prüfen, ob ich eine hoch oder tiefpunkt habe, muss ich ja die ABleitung 0 setzen für die jeweilige Stelle.

Um zu prüfen, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, darfst du die Nullstellen der Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen. Bei dieser Prüfung wird nichts = 0 gesetzt, sondern eine Funktion an einer bestimmten Stelle ausgewertet.

> Wie prüfe ich nun die Bedingungen, wenn im Zähler kein X vorkommt

Setze in den Nenner ein. Aber nicht die -1, sonst könntest Probleme bekommen.

> Allerdings lautet meine 2. ABleitung   2/(x+1)²

Dann ist die ursprüngliche Funktion aber nicht gebrochenrational, sondern von der Form

        f(x) = A + Bx - 2ln(x+1).

Comments

>  f(x) = A + Bx - 2ln(x+1)

Genauer muss es wohl    f(x) = A + Bx - 2ln(|x+1|) heißen.

Answer 2

Hi,

wenn deine 2. Ableitung stimmt heißt das ja nur, dass die Funktion keine Wendestellen besitzt.

Du kannst in der 2. Ableitung ganz normal für x die Extremstellen einsetzen und dann schauen, ob eine Zahl größer oder kleiner 0 herauskommt. Daraus schließt dann auf die Art des Extrempunktes.

Alternativ könntest du auch eine Vorzeichentabelle für die erste Ableitung erstellen und anhand des Monotonieverhaltens die Art der Extrempunkte feststellen.

Comments

Leut Rechner ist die 2. ABleitung 2/(x-1)^3die

Tiefpunkt bei (-1/0) und Hochpunkt bei (3/2)

Ich kenne es aber nur so, dass man für die Bedinung Hoch und Tiefpunkt die Nullstellen der ersten ABleitung in den Zähler der zweiten EInsetzt, bei der ERöffnung der Frage war ich kurz durcheinander.

Ich habe noch nie gesehen, dass man für die  Prüfung ob hoch oder Tiefpunkt man die Nullstelln der ersten ABleitung in die GESAMTE FUnktion der 2. Ableitung einsetzt.

Darf man das wirklich so machen?

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Darf man nicht nur, sondern muss man sogar. Du berechnest ja den Funktionswert der zweiten Ableitung an der Stelle die du mithilfe der ersten Ableitung herausgefunden hast. Wenn du die Stelle nicht für jedes x in der zweiten Ableitung einsetzt, kannst du keine Aussage über das Vorzeichen des Funktionswertes der zweiten Ableitung an der ermittelten stelle treffen.

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Ich glaube es ist besser, wenn ich schlafen gehe. :D

Natürlich macht man das so

Danke an Alle

Answer 3

Ganz wichtig ist immer die vollständige und richtige Aufgabe mit anzugeben.

Deine Angaben hier auf der Seite widersprechen sich total.

Lautet deine Funktion

f(x) = (x + 1)^2/(4·x - 4)

Dann wäre ein HP bei (-1|0)

und ein TP bei (3|2)

Die zweite Ableitung wäre dann auch

f''(x) = 2/(x - 1)^3