Maximale und minimale Anzahl gemeinsamer Punkte zweier Polynome von Grad 4 und 5

Question

Ich brauche einen Ansatz für folgende Aufgabe:

Seien p(x) ∈ R[x] vom Grad 5 und q(x) ∈ R[x] vom Grad 4. Wie viele Punkte können die Graphen der beiden Polynome gemeinsam haben? Gebe an, wie viele Punkte es mindestens und wie viele es höchstens sind. Begründe.

Comments

Hier kommt R[x] zweimal vor. Aber egal. Habe ich zwei Polynome 5. Grades dann kann die Differenz auch maximal vom 5. Grad sein. Damit hätte ich maximal 5 Nullstellen. Minimal hätte eine Funktion 5 Grades eine Nullstelle. aber die Differenz muss ja nicht vom 5 Grad sein sondern könnte auch vom 4. Grad sein und dann müssten wir keine Nullstelle haben.

Also hat man zwei Polynome n. Grades können sie minimal keinen Schnittpunkt und maximal n Schnittpunkte haben.

Wenn wir also zwei Polynome 4 Grades habe können wir minimal 0 Schnittpunkte und maximal 4 Schnittpunkte haben.

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Natürlich kommt R[x] zweimal vor; es werden ja auch zwei Elemente daraus gewählt.

Und die Graphen zweier Polynome fünften Grades können auch gänzlich übereinstimmen. Es ist hier von Bedeutung, dass die beiden Polynome von unterschiedlichem Grad sind.

Answer 1

Seinen p(x) ein Polynom 5. Grades und q(x) ein Polynom 4. Grades und ich frage nach den Nullstellen also

p(x) = q(x)
p(x) - q(x) = 0

dann ist das Differenzpolynom ein Polynom 5. Grades.

Ein Polynom 5. Grades hat minimal 1 Nullstelle und maximal 5 Nullstellen. Damit haben unsere Funktionen p und q mind. einen Schnittpunkt und maximal 5 Schnittpunkte.

Comments

Schon besser als im Kommentar vorhin; anfangs hätte ich allerdings "Schnittstellen" geschrieben und es soll natürlich nicht p(x) = q(x) = 0 gelten, sondern wir suchen die Anzahl der x∈ℝ , für welche einfach nur p(x) = q(x) gilt.