Differentialquotient berechnen

Question

Kann mir jemand schnell erklären was mit lim_h→0r(h)/|h| gemeint ist.

Ich habe bei einem Beweis den Differentialquotienten f'(z)=limh→0 (f(z+h)-f(z))/h umgeformt auf h*f'(z)+f(z)+r(h) = f(z+h). Wie genau komme ich auf das r(h)? Hab ich in der Analysis schon öfter im Differentialquotienten gesehen aber noch nie hinterfragt. Hoffe das weiß jemand!

Answer 1

erkundige dich  nach der Weierstraßschen Zerlegungsformel. 

Man kann auch schreiben 

Δy/Δx=[f(z+h)-f(z)]/h=f'(z)+R(z,h) , R ist irgendeine Restfunktion

umgestellt

f(z+h)=f(z)+h*f'(z)+h*R(z,h)

h*R(z,h)=r(z,h)

R(z,h)=r(z,h)/h

f(z+h)=f(z)+h*f'(z)+r(z,h)

damit die Ableitung existiert, muss R(z,h) gegen 0 streben (für h gegen 0)

also lim h-->0 r(z,h)/h=0

r(z,h) muss also vom Grad her in h höher als 1 sein 

Answer 2

(f(z+h)-f(z))/h ist der Differenzenquotient. Sein Limes für h→0 ist der Diierentialquotient - auch "erste Ableitung" genannt. Solange h noch nicht 0 ist, gibt es eine Diffrerenz d(h) zwischen Differenzenquotient und erster Ableitung. Das sieht dann so aus (f(z+h)-f(z))/h - f '(z) = d(h) oder nach einiger Umformung 
. h*f '(z)+f(z)+h·d(h) = f(z+h).Für r(h) = h·d(h) ergibt sich h*f '(z)+f(z)+r(h) = f(z+h).

Comments

Ahh ok. Soll also heißen die Differenz zwischen den Differenzialquotient und Differenzenquotient ist mein Rest r(h). Kommt der Rest dadurch zustande das h nur gegen 0 geht aber dieses tatsächlich nie erreicht?

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"Soll also heißen die Differenz zwischen den Differenzialquotient und Differenzenquotient ist mein Rest r(h)."

Nicht so ganz. Ich hatte die Different d(h) genannt und festgelegt r(h) = h·d(h).

" Kommt der Rest dadurch zustande das h nur gegen 0 geht aber dieses tatsächlich nie erreicht?"

Nein. Der Rest ist nur so lange ungleich Null, wie h ungleich Null ist. Der Differentialquotient (die erste Ableitung) wird nur für h = 0 erreicht.