Vereinfachung von Brüchen: a /(a²-4) - 2/(4-a²) = 1/(a -2). Warum?

Question

ich hänge an einer einfachen Aufgabe, die ich dennoch nicht lösen kann.

a / (a²-4) - 2 / (4-a²) = 1/(a -2)

Der kleinste gemeinsamer Nenner ist für mich:(2-a)(a-2).

Ist das richtig?

Da ( 2-a) vom (4-a²) stamm, erweitere ich somit den ersten Bruch um beide auszugleichen:

[a(2-a)] / (a²-4)

Da (a-2) ein Teil vom ersten Nenner ist, erweitere ich den zweiten Bruch damit:

[2(a-2)]  /  (4-a²)

Daraus ergibt sich:

[a(2-a)] / (2-a)(a-2) - [2(a-2)]  /  (2-a)(a-2)

dann klammer auflösen:

[2a - a²] / (2-a)(a-2)   -  [2a-4]/ (2-a)(a-2)

unter einem Bruch schreiben:

4-a² / a²+4a-4

was hab ich falsch gemacht?

wie komme ich auf 1/a -2

Answer 1

Kann es sein das dein Term wie folgt lautet:

a/(a^2 - 4) - 2/(4 - a^2)
a/(a^2 - 4) - 2/(-(a^2 - 4))
a/(a^2 - 4) + 2/(a^2 - 4)
(a + 2)/(a^2 - 4)
(a + 2)/((a + 2)(a - 2))
1/(a - 2)

Comments

danke schön für die Antworten.

Warum wird in der zweiten Zeile: 

a/(a2 - 4) - 2/(-(a2 - 4))  

minus -1 ausgeklammert?? wie hätte ich erkennen sollen, das hier notwendig ist??

Warum wird in der dritten Zeile:

a/(a2 - 4) + 2/(a2 - 4)

aufeinmal das Vorzeichen umgedreht???

Ich dachte, ich soll den kleinsten Nenner suchen, der bei 

(a2 - 4)  und (4 - a2)

eigentlich: (a-2)(2-a) ist. 

Und die erste Klammer multipliziere ich dann mit dem zweiten Zähler

Und die zweite Klammer multipliziere ich mit dem ersten Zähler aus.

Warum funktioniert das in diesem Fall offenbar nicht !! ??

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Das -1 wurde ausgeklammert, damit man in beiden Brüchen den gleichen Nenner erhält, nämlich

a^2 - 4.

Notwendig ist es vielleicht nicht, aber äußerst elegant :-)

Das Vorzeichen in der 3. Zeile ändert sich, weil -2/-x [(hier wäre x = (a^2-4)] = +2/x ist.

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a/(a2 - 4) - 2/(-(a2 - 4))  

minus -1 ausgeklammert?? wie hätte ich erkennen sollen, das hier notwendig ist??

Das habe ich gemacht, damit du erkennen kannst, das die Nenner eigentlich schon bis auf das Minus gleich sind. Damit ist der Nenner gleichzeitig der Hauptnenner.

a/(a2 - 4) + 2/(a2 - 4)

Warum wird aufeinmal das Vorzeichen umgedreht???

Wenn ich den Zähler mal minus eins nehme Kehrt sich das Vorzeichen des kompletten Bruches um. Damit kann ich den zweiten Bruch dann einfach addieren. Ich denke das ist am einfachsten.

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danke euch sehr, ist eine sehr tykische aufgabe gewesen

Answer 2

a / (a^2 - 4) - 2 / (4 - a^2)

= a / [(a+2)*(a-2)] - 2 / [(2+a)*(2-a)]    3. Binomische Formel

= a / [(a+2)*(a-2)] - 2 / [(a+2)*(a-2)*(-1)]

= (a+2) / [(a+2)*(a-2)]

= 1/(a-2)