Koordinatenabbildung bestimmen für die diagonalmatrix

Question

folgende aufgabe soll ich lösen:

A=  (8   2

       0    5)

Ich habe die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt.

Eigenwerte: α= 8 und α= 5

Eigenvektoren: (1,0) und (-2/3 , 1)

algebraische Vielfachheit: lies man davon ab: (8-α) (5-α) -->  1 und 1

geometrische Vielfachheit: 1 und 1

da algebraische und gemoetrische vielfachheit gleich--> diagonalisierbar

jetzt soll ich die Diagonalmatrix D, die invertierbare Matrix S angeben für die gilt: A= SDS^-1

D = K_B o A o K_B^-1

K_B^-1 = S^-1 =α * (1,0) + α* (-2/3,1)

D= K_B ( A ( a (1,0) + b* (-2/3,1)

B steht für die Basen und das sind die Eigenvekoten.

A* (1,0) = (8,0)

A* (-2/3, 1) = (-10/3 , 5)

= K_B ( a (8,0) + b* (-10/3 , 5)

= K_B ( 8a - 10/3 b , 5b)

Wie erhalte ich K_B das ist ja die Koordinatenabbildung?

Danke:)

Answer 1

Also S ist die Matrix

1     -2/3
0        1

Dann ist in der Tat  A= SDS^-1 

Und die Koordinatenabbildung bzgl. Basis B ist doch die Abbildung, die

in deinem Ansatz  
 K_B ( a (8,0) + b* (-10/3 , 5) )

dem Paar a,b  die Koordinaten des Bildes zuordnet , das Bild ist aber

8*a (8,0) + 5* b* (-10/3 , 5), also ist die Koordinatenabbildung die, die

durch die Diagonalmatrix bestimmt ist.

Comments

Wie kommt man auf S?

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Die Spalten von S sind einfach nur die Eigenvektoren.

Rechne mal nach  SDS^-1

S^-1 ist

^{1      2/3
0       1}

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eine kleine frage nochmal: wie kommst du auf die koeffizienten 8 und 5

8*a (8,0) + 5* b* (-10/3 , 5)

danke

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Das sind die Eigenwerte; denn

K_B ( a (8,0) + b* (-10/3 , 5) ) wegen Linearität

= a* K_B  (8,0) + b*K_B (-10/3 , 5)

=a* 8* (8,0) + b*5* (-10/3 , 5)