Extremwertaufgabe, Längen, Zielfunktion geg.

Question

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe (siehe Bild) helfen und mir eventuell Schritte vorgeben mit denen der vorgehen würde?

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Du solltest dich entscheiden, ob x in Metern oder in Millimetern angegeben ist. Ich habe in meiner Antwort Meter verwendet.

Answer 1

Umfang Halbkreis  r*pi hier also  x*pi .

Spiegelfläche 2m² gibt     2xz + x² * pi / 2 = 2

  2xz   = 2  -  x² * pi / 2

2z = 2/x  -  x * pi / 2

Kosten für 2z also  25 * ( 2/x  -  x * pi / 2)  =  ( 50/x  -  25 * x * pi / 2)

Insgesamt Kosten für Halbkreis + Kosten für 2x + Kosten für 2z

50x*pi + 50x +  50/x  -  25 * x * pi / 2

50 * (  x*pi +x  +    1/x  -  x * pi / 4 )

=50 * (  3x*pi/ 4  +  x   +   1/x  )

Passt !

K ' (x) = 25*(( 3*pi+4)*x² -4 ) / 2x²

^{gibt K ' (x) = 0   für x = 2 / sqrt(3pi+4)}

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Fehler in der Einheit (mm) statt m wird unten in der Aufgaeb korrigiert.

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warum ist der Umfang des gesamten Spiegels 2xz + x² * pi / 2 = 2 ?

Ich dachte der Halbkreis ist durch x*pi bestimmt. Woher kommt x² * pi / 2 ?

Answer 2

Der Kreisbogen hat die Länge 1/2·2πx = πx, verursacht also die Kosten 50πx.

Die drei Rechteckseiten verursachen die Kosten 25(2x+2z).

Zusammen ergibt das Kosten in Höhe von 50πx + 25(2x+2z).

Der Spiegel soll einen Flächeninhalt von 2m² haben. Dabei entfallen 1/2πx² auf den Halbkreis und 2xz auf das Rechteck. Also ist 1/2πx²+2xz = 2. Löse das nach z auf und setze in die Kosten ein.

Comments

Du hast eine Rechteckseite zuviel.

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Nein habe ich nicht. Eine deiner Rechteckseiten ist zu kurz.

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Entschuldige bitte, du hast recht. ich habe mich vertan!

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warum ist der Flächeninhalt des rechtecks 2xz?

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Weil die eine Seite des Rechtecks die Länge 2x hat, die dazu senkrechte Seite die Länge z hat und der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet werden kann indem die längen zweier zueinander senkrechter Seiten multipliziert wird.

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vielen dank!

hatte einen denkfehler

Answer 3

Länge des Halbkreises πx. Kosten dafür 50πx.

Länge der übrigen Teile 2z+2x.

Fläche des Spiegels z·2x+πx²/2 = 2 [m²]. Nach z aufgelöst z = 1/x - πx/4 und in die Länge der übrigen Teile eingesetzt: 2/x-πx/2+2x. Kosten dafür 25·(2/x-πx/2+2x).

Gesamtkosten y in Abhängigkeit von x: y = 25·(2/x-πx/2+2x)+50πx. Mit etwas Umformung wird daraus die gegebene Funktionsgleichung.