Question

Hat die ganzrationale Funktion f einen zur y-Achse bzw. zum Ursprung symmetrischen Graphen? 

Begründen Sie.

1. f(x) = x⁴

2.  f(x) = 2x+3

3. f(x) = 7 -x⁴+2x⁶

4. f(x) = 4x³+1

5. f(x)= 1/6 x⁶ - x²- wurzel aus 2 +1

6.f(x)=x³(x+1)(x-1)

Das waeren die Aufgaben danke schonmal

Answer 1

1. f(x) = x^{4     sym zur y-Achse da f( - x ) = f(x)}

2.  f(x) = 2x+3    geht nicht durch(0;0) also nicht pktsym. auch nicht achsensym da nicht ^{f( - x ) = f(x)}

3. f(x) = 7 -x⁴+2x^{6      sym zur y-Achse da f( - x ) = f(x)}

4. f(x) = 4x³+1  geht nicht durch(0;0) also nicht pktsym. auch nicht achsensym da nicht ^{f( - x ) = f(x)}

5. f(x)= 1/6 x⁶ - x²- wurzel aus 2 +1    ^{sym zur y-Achse da f( - x ) = f(x)}

6.f(x)=x³(x+1)(x-1)   f( - x ) = - f(x) also pkt.sym zu (0;0)

Answer 2

Ganzrationale Funktionen haben einen zur y-Achse symmetrischen Graphen, wenn in der Normalform alle Exponenten gerade sind.

Ganzrationale Funktionen haben einen zum Ursprung symmetrischen Graphen, wenn in der Normalform alle Exponenten ungerade sind.

Achte dabei darauf, dass zum Beispiel in f(x) = 4x³+1 die 1 ersetzt werden kann durch 1·x⁰ und 0 eine gerade Zahl ist. Außerdem werden nur solche Summanden betrachtet, bei dem der Koeffizient ≠ 0 ist. Der Graph der Funktion f(x)=0x³ + 1x² + 2 ist also symmetrisch zu y-Achse.