Brauche Hilfe bei: Welche Funktion hat einen zur y-Achse bzw zum Ursprung symmetrischen Graphen? Begründe.

Question

ich habe in meinem Mathebuch die Aufgabe: "Welche Funktion hat einen zur y-Achse bzw. zum Ursprung symmetrischen Graphen? Begründe."

1. f(x)=-x^4-5x^2+3

2. f(x)=x^5-3x^3-1

3. f(x)=x^5+3x^3+x^2-4x


Nun habe ich bei der 1. an stelle von x einmal 1 und -1 eingesetzt da f(x)=f(-x) oder f(x)=-f(-x) sein soll. Ich bekomme als Ergebnis f(1)=-3 und f(-1)=-2 raus. und hier weiß ich nicht mehr weiter da ich nicht weiß was was ist :/

Ich hoffe jemand kann mir helfen.

Answer 1

Es ist Funktion 1).

Begründung: In Funktion 1) kommen nur Terme mit geraden Exponenten vor. Dadurch ist es unerheblich, ob Du für x positive oder negative Werte einsetzt. Es kommt immer das gleiche Ergebnis heraus. Durch die "+3" am Ende wird der Graph lediglich um 3 Einheiten nach oben verschoben, das ändert als nichts an der Symmetrie bzgl. der y-Achse.

hth

Answer 2

Einfach richtig rechnen :-)

f ( x ) = - x ⁴ - 5 x ² + 3

 

f ( 1 ) = - 1 ⁴ - 5 * 1 ² + 3

= - 1 - 5 * 1 + 3

= - 3

f ( - 1 ) = -  ( - 1 ) ⁴ - 5 * ( -1 )  ² + 3

= - 1 - 5 * 1 + 3

= - 3

Also: f ( 1 ) = f ( - 1 )

 

Natürlich genügt es nicht, lediglich ein Beispiel anzugeben. Man muss statt dessen allgemein, also für **alle** Werte von x zeigen, dass f ( x ) = f ( - x ) gilt, also:

f ( x ) = f ( - x )

<=> - x ⁴ - 5 * x ² + 3 = - ( - x ) ⁴ - 5 * ( - x ) ² + 3

<=> - x ⁴ - 5 * x ² + 3 =  - x ⁴ - 5 * x ² + 3

Das ist eine für alle Werte von x wahre Aussage (beide Seiten sind gleich).
Damit ist f ( x ) = f ( - x ) für alle x bewiesen.

Die übrigen Aufgaben kannst du ebenso rechnen.

 

Übrigens: Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist immer dann achsensymmetrisch zur y - Achse, wenn der Funktionsterm  ausschließlich gerade Potenzen von x enthält ( auch x ⁰ ist eine gerade Potenz).

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist immer dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Funktionsterm ausschließlich ungerade Potenzen von x enthält.

Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von x, dann ist ihr Graph weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.