Lokale Extrema: f(x, y) = y·(1 - x^2 - y^2)

Question

Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion:

f(x, y) = y·(1 - x^2 - y^2) = - x^2·y - y^3 + y

Lösungsansatz:

df / dx = - 2·x·y 
df / dy = - x² - 3·y² + 1

Ich weiß nicht weiter. Kann jemand bitte helfen?

 

 

Kommt von hier: https://www.mathelounge.de/37521/mehrdimensionale-differentialrechnung-f-x-y-x-2-y-y-2-9x-6y-17 (Unknown)

Comments

soll ich hier wieder eine ableitung machen ?

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Die Hesse-Matrix würde wie folgt aussehen

d^{2}f / dxdx = - 2·y
d^{2}f / dxdy = - 2·x
d^{2}f / dydx = - 2·x
d^{2}f / dydy = - 6·y

Grundsätzliche Bedingung ist das die ersten partiellen Ableitungen Null werden

df / dx = - 2·x·y = 0

Hieruas folgt das entweder x oder y Null sein muss

df / dy = - x² - 3·y² + 1 = 0

Diese Gleichung liefert dann die andere Unbekannte

Ich habe da folgende Lösungen für mögliche Extrema:

[x = 0 ∧ y = √3/3,
x = 0 ∧ y = -√3/3,
x = 1 ∧ y = 0,
x = -1 ∧ y = 0]

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achso also zuerst für x 0 einsetzten

df / dx = - 2·x·y = 0

-2*0*y=0

y=0

und jetzt y=0 einsetzen

-2*x*0=0

x=0

 

und jetzt die dy funktion

und jetzt mit der  aller erst x=0

df / dy = - x² - 3·y² + 1 = 0

-0²-3y²+1=0

3y²=-1 =

y= +- wurzel 1/3

und jetzt  y= +- wurzel 1/3 einsetzten

-x²-3*(wurzel1/3)²+1=0

-x²-1+1=0

x=0

 

Stimmt es so?

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Du bekommst doch schon als Lösung für x = 0 für y= +- wurzel(1/3) heraus. Das ist schon die Lösung. Jetzt nur noch einmal für y 0 einsetzen und x ausrechnen. Die Lösungen habe ich ja oben schon angegeben.

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mit dieser gleichung - 2·x·y = 0?

 

-2x*0=0

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wie kann an es so schreiben

/?qa=blob&qa_blobid=13519472878068443944

Answer 1

ok y=0

df / dy = - x² - 3·y² + 1 = 0

x²-3*0²+1=

x=-1

x=-1 einsetzen

df / dy = - x² - 3·y² + 1 = 0

df / dy = -(-1)² - 3·y² + 1 = 0

           =-1+1-3y²=0

          = y=0

 

und stimmts!!