Umkehrfunktion bestimmen: f(x) = 2·x - 1/x

Question

Aufgabe:

$$ f ( x ) = 2 x - \frac { 1 } { x } \\ x \in A : = \left[ \frac { 1 } { 2 } ; 1 \right] $$

Ist f monoton wachsend?

Bestimmen Sie eine Menge W⊂ℝ, so dass f : A → W invertierbar ist und berechnen Sie ihre Umkehrfunktion.

Answer 1

f(x) = 2·x - 1/x

f'(x) = 1/x^2 + 2 > 0
Das ist immer erfüllt und damit ist f(x) im Bereich von [1/2; 1] mononton wachsend.

f(1/2) = -1
f(1) = 1

W = [-1; 1]

Umkehrfunktion

y = 2·x - 1/x
x·y = 2·x^2 - 1
2·x^2 - x·y - 1 = 0
x = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a) = (-(-y) + √((-y)^2 - 4(2)(-1))) / (2(2)) = (y + √(y^2 + 8))/4
y = (x + √(x^2 + 8))/4

Skizze:

Comments

Danke das hilft mir schonmal sehr. Eine Frage noch dazu: Was machst du genau bei diesem Schritt?

x = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a) = (-(-y) + √((-y)^2 - 4(2)(-1))) / (2(2)) = (y + √(y^2 + 8))/4

Also woher kommt das       x = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a) ?

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Das ist die abc-Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Siehe dazu auch unter https://docs.google.com/document/d/1gLlsznFpcxFAstzkn1CqLz4Bvmd9kiZAJC2_vrwfhRc/pub