Wie kann man Binomialkoeffizient anhand von Binomen erklären?

Question

Im Begriff Binomialkoeffizient kommt Binom vor... Wieso?

Answer 1

Hi, stelle $2=(1+1)$ als Binom dar und potenziere ein wenig herum:

$$\left(1+1\right)^0 = 1 \\\left(1+1\right)^1 = 1+1 \\\left(1+1\right)^2 = 1+2+1 \\\left(1+1\right)^3 = 1+3+3+1 \\\left(1+1\right)^4 = 1+4+6+4+1 \\\left(1+1\right)^5 = 1+5+10+10+5+1 \\\dots\\\left(1+1\right)^n = \sum_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}} \\$$

Answer 2

Ein Binom ist die Summe oder Differenz aus zwei Gliedern.

a + b ist also ein Binom

a - b ist auch ein Binom

und

1/2 - 2*x ist ebenso ein Binom.

Hat man eine Potenz von einem Binom. dann kann man die mithilfe der Binomischen Formel, dem binomischen Satz oder mit hilfe der binomialkoeffizienten ausmultiplizieren.

(p + q)ⁿ = ∑ (k = 0 bis n) ((n über k)·p^k·q^{n - k})

Der Binomialkoeffizient zählt jetzt also wie viele Summanden wir vom Typ p^k·q^{n - k} beim ausmultiplizieren bekommen.

Comments

ich verstehe das nicht so ganz... könnten Sie das mir in einem 10.Klasse Niveau erklären?

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Schau dir eventuell ein paar Grundlagen bei Youtube an

Siehe auch: https://www.youtube.com/results?search_query=binomialkoeffizient

Answer 3

(a+b)⁰   =                                                  1

(a+b)¹    =                                            1a + 1b

(a+b)²    =                                      1a²   +2ab + 1b²

(a+b)³    =                                 1a³+ 3a²b + 3ab² + 1b³

(a+4)⁴   =                             1a⁴+ 4a³b  +6a²b² + 4ab³+1b⁴

..........                                   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Die fettgedruckten Zahlen sind die Binomialkoeffizienten (sie bilden das Pascalsche Dreieck).

Comments

ich verstehe das nicht so ganz... könnten Sie das mir in einem 10.Klasse Niveau erklären?

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OK, Zeile für Zeile: (a+b)⁰ = 1. Selbst (benisss)⁰ = 1, denn jede beliebige Größe hoch 0 ist 1.

(a+b)¹ = a+b (x¹=x, den Exponenten 1 kann man weglassen). (a+b)¹  = 1a+1b, denn 1a = a und 1b=b.

(a+b)² = a²+2ab+b² hast du sicher mal auswendig gelermt? Dafür kann man 1a²+2ab+1b² schreiben.

(a+b)³ = (a+b)² ·(a+b)= (a²+2ab+b²)·(a+b) jetzt jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizieren: a³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³ gleiche Sorten zusammenfassen  a³+3a²b+3ab²+b³ oder  1a³+3a²b+3ab²+1b³.

(a+b)⁴=(a+b)²·(a+b)²=(a²+2ab+b²)·(a²+2ab+b²). Jetzt wieder jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizieren und zusammenfassen.