Parametrisierung der Kurve: (1-x^2)*y-x=0

Question

Hätte jemand eine Idee zur folgenden Aufgabe:

Geg.:(1-x^2)*y-x=0

Ges.:Lässt sich diese Kurve in der Nähe von (0,0) über y  parametrisieren ,x=h(y) ?,falls ja geben sie die Funktion h(y) explizit an.

P.S: Wäre dankbar für jede Hilfestellung

Answer 1

nutze den Satz über implizite Funktionen.

F(x,y)=(1-x^2)*y-x=0

dF/dx=-2x*y-1

Es muss gelten dF(x₀,y₀)/dx≠0

Hier x₀=y₀=0

 dF(x₀,y₀)/dx=-1≠0

Also gibt es eine Funktion h(y)=x

(1-x^2)*y-x=0

x^2*y+x-y=0

x^2+x/y-1=0

(x+1/(2y))^2-1-1/(4y^2)=0

(x+1/(2y))^2=1+1/(4y^2)

x+1/(2y)=±√(1+1/(4y^2))

x=-1/(2y)±√(1+1/(4y^2))