Konvergenz einer monotonen Folge von Teilsummen. an = 1/10 + 1/100 + 1/1000 + …+1/10^n

Question

Wie kann ich zeigen, dass die Folge :

\( a_{n}=\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\ldots+\frac{1}{10 n} \)

konvergent ist?

Answer 1

Schreib das doch mal dezimal auf

1/10 = 0.1

1/100 = 0.01

1/1000 = 0.001

...

Summiere alles zusammen

0.1111111...

gibt also 1/9

Comments

Gibt auch eine etwas formalere erklärung

an = 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... +
10an = 10/10 + 10/100 + 10/1000 + ... + 10/10^n
10an =  1 + 1/10 + 1/100 + ... + 1/10^{n-1}

Zweite gleichung minus erste Gleichung

9an = 1 - 1/10^n

an = 1/9 - 1/(9*10^n)

Das geht gegen 1/9 wenn n gegen unendlich geht.

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Das verstehe ich doch, aber ich will wissen, wie ich es schriftlich in eine Prüfung nachweisen kann.

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Eigentlich sollten beide Formen erlaubt sein. Die zweite ist etwas mehr Formal und einem Studenten würdiger. Das andere wäre ja eher auf Hauptschulniveau :)

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Aber man kann doch nicth die erste Antwort in eine Prüfung schreiben. Oder?

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Warum nicht ?

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Ich denk, dass es gar nicht formel ist.

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Wenn etwas zu zeigen ist ist dir der Weg freigestellt. Das kann Formal sein, das kann geometrisch sein. Das kann aber auch eine andere Form haben.

Es gibt viele geometische Herleitungen. Wir erinnern uns z.B. an die binomischen Formeln.

Es kommt auf den jeweiligen Prof an wie er das bewertet. Aber auch die erste Möglichkeit ist eine Möglichkeit es zu zeigen. Ich glaube das hat sogar ein Prof so auch mal selber vorgemacht am bespiel von Achilles und der Schildkröte.

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Die erste Möglichkeit ist zwar sehr anschaulich, mathematisch aber nicht durchführbar. Denn dass 0,1111... gerade 1/9 ist (bzw. dass 0,111...11 gegen 0,111... konvergiert), zeigt man ja erst dadurch, dass man den Grenzwert der hier gegebenen Folge bestimmt.

Die zweite Möglichkeit hingegen ist einwandfrei korrekt. Das ist ja im Prinzip auch die übliche Methode, die Konvergenz einer geometrischen Reihe zu zeigen.

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! Mit 1/9 = 1:9 = 0.1111... = ∑1/10^n hat man
offenbar eine Reihendarstellung von 1/9 erzeugt. Mir leuchtet
noch nicht ein, warum diese Argumentation nicht standhält.

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Was ist denn 0,11111...? Das ist ja als die Reihe definiert, die du angegeben hast (mit Startindex n=1).
Damit 0,1111... aber wohldefiniert ist, musst du wissen, dass diese Reihe konvergiert (das ist hier zu zeigen).

Damit du außerdem weißt, dass 1/9 = 0,1111... ist, musst du zeigen, dass die Reihe den Grenzwert 1/9 besitzt.

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Danke. Ich denk auch, dass die zweite Variente nötig ist. Falls ihr Websites kennt, wo ich mehrere Beispiele davon sehen, wäre es sehr nett mich berichten zu lassen.