Sandwichsatz, kann jemand meinen Beweis retten?

Question

Es gibt dutzende beweise im Interne zu finden, habe es allerdings mit selbst denken probiert und wollte fragen, ob jemand aus meiner Idee einen Beweis machen kann oder ist sie unbrauchbar?

Kurzfassung: b_n≤a_n≤c_ n, b_n→a und c_n→a, also auch a_n→a 

Da b_n und c_ n gegen a konvergieren, existieren zwei Indizes N_1, N_2 ∈ℕ, sodass für fast alle Glieder des Intervalls (b_n, c_n), mit n≥N=max{N_1, N_2} gilt:(b_n, c_n) ⊆(a-ε,a+ε), da außerdem gilt a_n⊆(b_n, c_n), folgt daraus a_n⊆(a-ε,a+ε) für alle n≥N...?

Answer 1

Da b_n und c_ n gegen a konvergieren, existieren zwei Indizes N_1, N_2 ∈ℕ, sodass

für  alle Glieder   [ Das "fast" steckt in dem n>N ]

der Folgen b_n und   c_n, mit n≥N=max{N_1, N_2} gilt:{b_n, c_n}   ⊆(a-ε,a+ε),  


d.h. a-ε < b_n  <  a+ε    und   a-ε < c_n  <  a+ε 

also insbesondere   a-ε < b_n    und    c_n  <  a+ε 


und wegen   b_n≤a_n≤c_ n     also  auch

a-ε < b_n   ≤a_n≤   <  a+ε 

daraus a_n⊆(a-ε,a+ε) für alle n≥N.