(-1)^n divergiert Widerspruchsbeweis

Question

Widerspruchsbeweis:

Sei a∈ℝ der Grenzwert von (-1)^n, also gilt: ∀ε>0∃N∈ℕ∀n≤N: |(-1)^n-a|<ε

Somit |(-1)^n-a|<ε ⇔ -ε< (-1)^n-a <ε ⇔ a-ε< (-1)^n < ε+a ⇔ (a-ε)^{1/n} < -1 < (ε+a)^{1/n}, setzt man nun n=2k folgt ein Widerspruch, da (a-ε)^{1/n} = (a-ε)^{1/2k} ≥ 0 >-1 sein muss.

Somit kann kein solches N  für alle n≤N existieren und die Folge divergiert.

n ist eine natürliche Zahl...

Ist der Beweis okay?

Answer 1

a ist Dein Grenzwert, und den musst Du erst einmal als unbekannt voraussetzen.

Nun weißt Du aber, dass die Folge \( (-1)^n \) zwei Häufungspunkte hat, bei -1 und +1.

Du behauptest einen Widerspruch, aber die Ungleichung als Widerspruch zu bezeichnen, kannst Du doch nur, weil Du -1 kennst. Ohne diese Kenntnis kannst Du nämlich nur beweisen, dass die Folge keinen negativen Grenzwert haben kann, aber noch nicht die Divergenz. (Dass \( (a-\varepsilon)^{1/n} \geq 0 \) sein muss oder gilt oder nicht gilt, musst Du beweisen, nicht einfach behaupten.)

Grüße,

M.B.