Integration von 1/(a^2+x^2)

Question

Also wie im Titel ersichtlich geht es um die Integration von f(x) = 1/(a^2 + x^2).

Die richtige Lösung mit arctan kenne ich und der Rechenweg ist mir auch bekannt.

Beim ersten Versuch der Lösung ging ich jedoch wie folgt vor:

f(x) = 1/(a^2 + x^2)

(Umgeschrieben) = f(x) = (a^2 + x^2)^{-1}

Anschließend integriert:

F(x) = ln(a^2+x^2) * 1/(2x)

Das ist nun offensichtlich falsch.

Meine Frage: Warum darf ich so nicht verfahren mit Integration des Kehrwerts ?

Vielen Dank für eure Antworten.

Gruß

Answer 1

Weil du deine Funktion jetzt mit Produktregel ableiten müsstest und nicht nur nach der Kettenregel

Es gilt, wenn

f(x) = v'(x) * u'(v(x))

Dann ist

F(x) = u(v(x))

Bei dir hast du allerdings nicht zu Anfang die Ableitung der inneren Funktion als Faktor vorliegen.

Es gilt also nicht generell:

f(x) = u'(v(x))

F(x) = u(v(x)) / v'(x)

Comments

Achso. Wann dürfte ich einfach durch die innere Ableitung teilen ? Es gibt eine Form wo das erlaubt ist.

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Danke für die schnelle Antwort.

Deine letzte Ausführung

Es gilt also nie:

f(x) = u'(v(x)) 

F(x) = u(v(x)) / v'(x)

verstehe ich nicht so recht, da ich doch z.B.:

f(x) = e^{2x} als mein   u'(v(x))

so integriere:

F(x) = 1/2*e^{2x} als mein   u(v(x)) / v'(x)

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Deswegen habe ich das oben etwas abgewandelt gehabt. Siehe mein Kommentar

"Achso. Wann dürfte ich einfach durch die innere Ableitung teilen ? Es gibt eine Form wo das erlaubt ist."