z^5 = 4(1−i) Lösung berechnen

Question

Lösung berechnen (komplexe Zahlen)

z⁵ = 4(1−i) 

Answer 1

 

z⁵ = 4(1−i) = 4 - 4i 

Du kannst für solche Berechnungen immer dieser allgemeinen Anleitung folgen:

Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w     [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]

w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^i ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].

Den Betrag  |w| = r und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder man erhält sie aus den Formeln

|w| = √(a² +b²)  und  φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0   [ - arccos(a/r) wenn b<0 ] .

Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√|w|  · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

[ Die Eulersche Form ist  jeweils  z_k =  ⁿ√|w| · e^{i·(φw+k·2π)/n} ]

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Kontrolllösungen für w = 4 - 4i

z = 0.22123  - 1.39680·i    ∨    z = 1.39680  - 0.22123·i

∨    z = 0.64204 + 1.26007·i    ∨    z = -1.26007 - 0.64204·i 

∨    z = -1 + i

Gruß Wolfgang

Answer 2

z⁵ = 4(1−i)