Komplexe Lösung bestimmen und zeichnen. x^8 -(1+j) = 0

Question

Ich habe die Gleichung: x^8 -(1+j) = 0

diese soll berechnet werden und gezeichnet werden.

Ich habe bis jetzt:

x^8 = 1+j

für k (0...7)

sodass: sqrt(2) Versor Pi/4 

jetzt kann ich doch einfach

sqrt(2) Versor (Pi/4)*k 

rechnen, oder? 

Answer 1

x⁸ = 1+j

für k (0...7)

sodass: sqrt(2) Versor Pi/4 

jetzt kann ich doch einfach

sqrt(2) Versor (Pi/(4*8) ) 

= sqrt(2) Versor (Pi/(32)) 

Das ist die erste Lösung.

Nun zu regulärem 8-eck ergänzen. 

 2π/8 = π/4 .
Alle Lösungen haben die Form

x = √2  Versor ( π/32 + k * 2π/8) 

= √2  Versor ( π/32 + k * π/4) 

 

k∈ Z oder k = {1,2,3,....8} gibt die gleiche Menge an Punkten in der komplexen Zahlenebene. 

Das lässt sich nicht gross vereinfachen. 

Comments

x = √2  Versor ( π/4 + k * 2π/8)  

Ähnliches habe ich in meinen Unterlagen stehen, aber woraus resultiert denn:

k * 2π/8 | 8 für x^8 ok aber 2pi?

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Die Lösungen von w^8 = a bilden ein regelmässiges 8-eck mit dem Mittelpunkt 0.

Da ein voller Winkel 2π = 360° misst, rechnet man 2π / 8.

übrigens stimmte oben nur das 2kπ/8 . Der Rest wurde inzwischen korrigiert. 

 

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Zeichnung kannst du dir hier zur Kontrolle https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E8+-(1%2Bi)+%3D+0

ansehen.

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Okay ist dann 

wobei K = 0

$$ x1\quad =\quad \sqrt [ 8 ]{ \sqrt { 2 }  } \angle \frac { \Pi  }{ 4 } +\frac { 2\Pi K }{ 8 }  $$

wobei K = 1

$$ x2\quad =\quad \sqrt [ 8 ]{ \sqrt { 2 }  } \angle \frac { \Pi  }{ 4 } +\frac { 2\Pi K }{ 8 }  $$

oder wie kann ich das verstehen?

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Wie kommt man denn jetzt auf x2 x3 ...?

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x_k = √2  Versor ( π/32 + k * π/4) 

und jetzt für k der Reihe nach ganze Zahlen einsetzen.

x_o = √2  Versor ( π/32 + 0 * π/4) = x₈= √2 Versor (π/32 + 8*π/4) 

x₁ = √2  Versor ( π/32 + 1 * π/4) 

x₂ = √2  Versor ( π/32 + 2 * π/4) 

x₃ = √2  Versor ( π/32 + 3 * π/4) 

x₄ = √2  Versor ( π/32 + 4 * π/4) 

x₅ = √2  Versor ( π/32 + 5 * π/4) 

x₆= √2  Versor ( π/32 + 6 * π/4) 

x₇= √2  Versor ( π/32 + 7 * π/4) 

jetzt bist du fertig. x₈ ist wieder x_o  in der komplexen Zahlenebene.