ich verstehe nicht , wie man 3 hoch |A| beweist

Question

hallo 
ich verstehe nicht wie man die Frage beweist.
Für eine Menge A und 2^A  ist die Potenzmenge von A sei A endliche Menge 
zeigen |G| = 3^|A| sei G := {(B,C) ∈ 2^A×2^A : B⊆C}
wie zeige ich diese Frage? vielen Dank und schönes Wochenende!

Comments

∑ [i=0 bis n] (n über i)*2^i  =  3^n

Answer 1

Für eine Menge A und 2^A  ist die Potenzmenge von A.

 sei A endliche Menge  .  sei G := {(B,C) ∈ 2^A×2^A : B⊆C}

zeigen |G| = 3^|A| 

Dazu ist es gut zu wissen:  Die Anzahl aller k-elementigen 

Teilmengen einer n-elementigen  Menge ist  " n über k ".

Und bei den Elementen von G handelt es sich ja um Paare, bei denen

die 1. Komponente B  eine Teilmenge der 2. (C)  ist.



Wenn du z.B.  für C eine 2-elementige Teilmenge von A nimmst, kannst

du so viele Paare bilden, wie das C Teilmengen hat, also 2^|C| = 2² .

Und es gibt  " n über 2 " Möglichkeiten für das C, also erhältst du

so    " n über 2 " *  2²  verschiedenen Paare.Wenn C eine 3-elementige Teilmenge von A ist ,  kannst

du wieder so viele Paare bilden, wie das C Teilmengen hat, also 2^|C| = 2³ .

Und es gibt  " n über 3 " Möglichkeiten für das C, also erhältst du

so    " n über 3 " *  2³  verschiedenen Paare.

Dann liefert dir die Gleichung aus dem Kommentar die Lösung,falls ihr die noch nicht hattet, beweis du sie durch vollst. Ind.