Lineare Unabhängigkeit zeigen/widerlegen

Question

Hallo

gegeben sei dei Funktion f:ℝ→ℝ.
sin(x) und cos(x) sind Teilmengen von f:ℝ→ℝ. Sind sie linear abhängig oder unabhängig?

Aus dem Bauch heraus würde ich behaupten, Sie sind linear abhängig, da ich sie durch verschieben um π/2 Deckungsgleich bringe. Nun eigentlich hatten wir Trigonometrische Funktionen noch gar nicht und wenn ich zu viel anwende, was wir noch nicht hatten, gibt es 0 Punkte. Wie löse ich das Problem nun rudimentär?

Danke

Answer 1

> sin(x) und cos(x) sind Teilmengen von f:ℝ→ℝ. Sind sie linear abhängig oder unabhängig? 

Das muss wohl (in Kurzform) folgendermaßen lauten:

x↦sin(x) und x↦cos(x) sind Elemente des Vektorraums der stetigen Funktionen f:ℝ→ℝ. Sind sie linear abhängig oder unabhängig? 

Die beiden Funktionen sind  linear unabhängig , weil sie keine Vielfache voneinander sind, das heißt: 

Es gibt kein r∈ℝ  mit:  sin(x) = r • cos(x)  für alle x∈ℝ   (und umgekehrt)

[ sonst müsste z.B. tan(x) ( = sin(x) / cos(x)  für cos(x) ≠ 0 ) immer den gleichen Wert r haben ]

Gruß Wolfgang