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In das Flächenstück zwischen dem Graphen von f(x)=-2x^2-5x und der x-Achse soll ein Rechteck einbeschrieben werden, wobei eine Seite auf der x Achse liegt.

Berechnen sie die Koordinaten der Eckpunkte, wenn sein Flächeninhalt maximal werden soll.

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Kontrolllösung

x1 = -0,528

f (x1) = 2,083

x2 = -1,972

f (x2) = 2,083

A = 3

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Wir haben also eine nach unten geöffnete Parabel. Das Einbeschreiben eines Rechtecks kann man vereinfacht ausrechnen indem man nur den einen Ast der Parabel betrachtet. Dafür bestimmen wir zuerst den Scheitelpunkt.

f'(x)=-4x-5=0

x=-1,25

Wir berechnen hier also zunächst nur die halbe rechtsecksfläche bzw. maximieren diese.

A = a*b , hierbei ist

a = -1,25 - x , und

b = f (x) , ergibt

A (x) = (-1,25 - x)*(-2x^2 - 5x)

   = 2,5x^2 + 6,25x + 2x^3 +5x^2

   = 2x^3 + 7,5x^2 + 6,25x

A'(x)= 6x^2 + 15x + 6,25 = 0

x^2 + 2,5 x + 25/24 = 0

x_12 = - 1,25 +- wurzel (25/16 - 25/24)

       = - 1,25 +- Wurzel  (75/48 - 50/48)

      = - 1,25 +- Wurzel  (25/48)

x_1 = - 1,25 + 5*wurzel (1/48) = -0,528

x_2 = - 1,25 - 5*wurzel (1/48) = - 1,972

Es fällt auf, dass die x-Koordinate unseres Scheitelpunktes genau zwischen den beiden Lösungen liegt:

-1,25+0,528=0,722

-1,25+1,972=-0,722

Damit sind die beiden x-werte schon die beiden x-Koordinaten der beiden Punkte auf der x-Achse:

P1 (-1,972/0) und P2 (-0,528/0)

Beide x-werte führen zu demselben y-wert:

f (-0,528)=-2*(-0,528)^2-5*(-0,528)=2,082

Auf der x-Achse ergibt sich die Strecke

1,972 - 0,528 = 1,444

Damit ergibt sich die Fläche

A = 1,444 * 2,082 = 3

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