vektor rq herleiten vektoren

Question

 Aufgabe siehe bild. G3a, b, c. Könnte jemand ausführlich die Aufgaben vorrechnen.

Answer 1

vermutlich ist gemeint, dass bei R rechte Winkel sind, also RQ die Höhe in dem Dreieck ist.

Dazu wären zwei Sachen zu prüfen:

1.  RQ * OP = 0     ( das heiße die sind senkrecht zueinander ) 2.  OQ+ QR =  x*OP  ( das hieße :  wenn man von O über Q nach R geht, landet man

wirklich auf der Seite OP.Das kann man ja nachrechnen:
zu 1.  .  RQ * OP  

= 1/(a² +b²) * (   (a² +b²)*c  - (ac+bd) *a    ;    (a² +b²)*d - (ac+bd) *b )    *  (  a ; b )


= 1/(a² +b²) * (   (a² +b²)*c*a  - (ac+bd) *a*a    +    (a² +b²)*d*b - (ac+bd) *b*b )  

= 1/(a² +b²) * (   (a² +b²)*c*a    +    (a² +b²)*d*b    - (ac+bd) *a*a   - (ac+bd) *b*b )  


= 1/(a² +b²) * (   (a³*c +b²*c*a    +    a²d*b   +   b²*d*b    -a³*c - bd *a*a   - acbb  -  bd*b*b )  

In der großen Klammer heben sich alle gegenseitig auf, also gibt es 0.

zu 2: halt auch nachrechnen.

b)  Länge von RQ zum Quadrat gibt 

= 1/(a² +b²) * (   (a² +b²)*c  - (ac+bd) *a    ;    (a² +b²)*d - (ac+bd) *b )     *   1/(a² +b²) * (   (a² +b²)*c  - (ac+bd) *a    ;    (a² +b²)*d - (ac+bd) *b ) 

   = (1/(a² +b²))² * (   (a² +b²)*c  - (ac+bd) *a    )²   +  ( (a² +b²)*d - (ac+bd) *b ) ²   

   = (1/(a² +b²))² * (   ((a² +b²)*c)²  -2  (a² +b²)*c (ac+bd) *a  + ( (ac+bd) *a  )²   

          +  ( (a² +b²)*d )²    -2(a² +b²)*d * (ac+bd) *b   +   ((ac+bd) *b ) ²     )

usw. gibt dann wohl  (ad-bc)² / (a² +b²)  und weil dann noch die

Wurzel zu ziehen ist, also das gewünschte Ergebnis.

c) A = 0,5 * g * h  hier also

A = 0,5 * |OP| * | RQ| = 0,5* √(a²+b²)*  |ad-bc| / √(a² +b²) = 0,5* |ad-bc|

Answer 2

Hi,
zu (a) es gilt
$$ \vec{OR} + \vec{RQ} = \vec{OQ}  $$ und \( \vec{OR} \) ist die Projektion von \( \vec{OQ} \) auf \( \vec{OP} \) also
$$ \vec{RQ} = \vec{OQ} - \vec{OR} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} - \frac{ \left< \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right>}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} (a^2+b^2)c - (ac+bd)a \\ (a^2+b^2)d - (ac+bd)b \end{pmatrix} $$
Zu (b)
$$ \left| \vec{RQ} \right|^2 = \frac{1}{(a^2+b^2)^2} \left( \left[ (a^2+b^2)c - (ac+bd)a \right]^2 + \left[ (a^2+b^2)d - (ac+bd)b \right]^2 \right) $$ das kann man mit einiger Rechnerrei umformen in
$$ \left| \vec{RQ} \right|^2 = \frac{(ad - bc)^2}{a^2+b^2} $$ also das gewünschte Resultat.

zu (c) Es gilt $$ F = \frac{ \left| \vec{OP} \right| \cdot \left| \vec{RQ} \right| } {2} = $$
$$ \frac{ \sqrt{a^2+b^2} \cdot |ad-bc| }{2 \sqrt{a^2+b^2} } = \frac{ |ad-bc| }{2} $$