Gesucht ist Vektor b mithilfe von Flächeninhalt und Winkel

Question

Guten Morgen allerseits,

Gegeben ist ein Vektor \( \vec{a} \) mit der Länge 4 . Gesucht ist die Länge des Vektors \( \vec{b} \), so dass \( \vec{b} \) mit \( \vec{a} \) einen Winkel von \( 150^{\circ} \) einschließt und das von \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) aufgespannte Parallelogramm den Flächeninhalt \( A=18 \) besitzt.
\( |\vec{b}|= \)

Kann mir wer hierzu auch wenn möglich eine Lösung zeigen, damit ich mich für die Klausur vergewissern kann das ich es verstanden habe. Mit erklärung wäre toll

Answer 1

Es gilt

A = a * b * sin(γ)

Wir setzen ein und lösen auf.

A = 4 * b * sin(150°) = 18 → b = 9

Die Länge von Vektor b beträgt 9

Answer 2

so dass \( \vec{b} \) mit \( \vec{a} \) einen Winkel von \( 150^{\circ} \) einschließt

(1)        \(\cos 150° = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}\)

Grund dafür ist

Satz. Für den Winkel \(\alpha\) zwischen den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) gilt

        \(\cos \alpha = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}\).

und das von \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) aufgespannte Parallelogramm den Flächeninhalt \( A=18 \) besitzt.

(2)        \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|=18\)

Grund dafür ist

Satz. Für den Flächeninhalt \(A\) des von den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Parallelograms gilt

        \(A = \left|\vec{a}\times \vec{b}\right|\).

Löse das Gleichungssystem (1), (2).

Comments

|a⃗ ⋅b⃗ |(geteilt durch)|a⃗ ||cos(α)|

also 18 durch (/) 4*cos150

und somit wäre die lösung = -6,36

ist das korrekt?

---

und somit wäre die lösung = -6,36

Es ist nach einer Länge gefragt und die kann nicht negativ sein. Also kann das nicht korrekt sein.