Gesucht ist Vektor b mithilfe von Flächeninhalt und Winkel

Question

Guten Morgen allerseits,

Gegeben ist ein Vektor $\vec{a}$ mit der Länge 4 . Gesucht ist die Länge des Vektors $\vec{b}$, so dass $\vec{b}$ mit $\vec{a}$ einen Winkel von $150^{\circ}$ einschließt und das von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannte Parallelogramm den Flächeninhalt $A=18$ besitzt.
$|\vec{b}|=$

Kann mir wer hierzu auch wenn möglich eine Lösung zeigen, damit ich mich für die Klausur vergewissern kann das ich es verstanden habe. Mit erklärung wäre toll

Answer 1

Es gilt

A = a * b * sin(γ)

Wir setzen ein und lösen auf.

A = 4 * b * sin(150°) = 18 → b = 9

Die Länge von Vektor b beträgt 9

Answer 2

so dass $\vec{b}$ mit $\vec{a}$ einen Winkel von $150^{\circ}$ einschließt

(1)        $\cos 150° = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}$

Grund dafür ist

Satz. Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt

        $\cos \alpha = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}$.

und das von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannte Parallelogramm den Flächeninhalt $A=18$ besitzt.

(2)        $\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|=18$

Grund dafür ist

Satz. Für den Flächeninhalt $A$ des von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannten Parallelograms gilt

        $A = \left|\vec{a}\times \vec{b}\right|$.

Löse das Gleichungssystem (1), (2).

Comments

|a⃗ ⋅b⃗ |(geteilt durch)|a⃗ ||cos(α)|

also 18 durch (/) 4*cos150

und somit wäre die lösung = -6,36

ist das korrekt?

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und somit wäre die lösung = -6,36

Es ist nach einer Länge gefragt und die kann nicht negativ sein. Also kann das nicht korrekt sein.