Weißt du, was die Multiplikation von komplexen Zahlen geometrisch bedeutet? Für \(z=(r,\varphi)\), mit \(r=|z|\) dem Radius und \(\varphi=\arg(z)\) dem Winkel von \(z\), gilt:
$$z_1\cdot z_2=(r_1\cdot r_2,\varphi_1+\varphi_2)$$ ("Radius multiplizieren, Winkel addieren"). Damit ist $$z^k=1 \Leftrightarrow r^k=1 \wedge k\cdot \varphi=2\cdot l\cdot \pi,\quad l\in\mathbb Z$$
Da \(r\in \mathbb R_0^+\), ist \(r^k=1 \Leftrightarrow r=1\) und \(k\cdot \varphi =2\cdot l\cdot \pi\Leftrightarrow \varphi =\frac{2\cdot l \cdot \pi}k,\quad l\in\mathbb Z\) \(\Leftrightarrow \varphi =\frac{2\cdot l \cdot \pi}k,\quad l\in\{1,...,k\}\), weil Winkel äquivalent sind, wenn ihre Differenz ein ganzes Vielfaches von \(2\pi\) ist.
Damit ist die Lösung in Polarkoordinaten: \(z^k=1 \Leftrightarrow z=(1,\frac{2\cdot l \cdot \pi}k),\quad l\in\{1,...,k\}\). Und wie kommt man von Polarkoordinaten zurück in \((\Re,\Im)\)-Koordinaten (\(z=a+bi\))?
$$z=r\cdot e^{i\varphi}=e^{i\frac{2\cdot l \cdot \pi}k}=e^{\frac{2\ l\ \pi\ i}k},\quad l\in\{1,...,k\}.$$
