Frage zu komplexen Zahlen (zk=1)

Question

Ich soll alle Lösungen von z^k=1 (K= alle Natürlichen Zahlen >0) finden, weiß aber nicht wie ich da vorgehen soll.

Answer 1

Weißt du, was die Multiplikation von komplexen Zahlen geometrisch bedeutet? Für $z=(r,\varphi)$, mit $r=|z|$ dem Radius und $\varphi=\arg(z)$ dem Winkel von $z$, gilt:
$$z_1\cdot z_2=(r_1\cdot r_2,\varphi_1+\varphi_2)$$ ("Radius multiplizieren, Winkel addieren"). Damit ist $$z^k=1 \Leftrightarrow r^k=1 \wedge k\cdot \varphi=2\cdot l\cdot \pi,\quad l\in\mathbb Z$$
Da $r\in \mathbb R_0^+$, ist $r^k=1 \Leftrightarrow r=1$ und $k\cdot \varphi =2\cdot l\cdot \pi\Leftrightarrow \varphi =\frac{2\cdot l \cdot \pi}k,\quad l\in\mathbb Z$ $\Leftrightarrow \varphi =\frac{2\cdot l \cdot \pi}k,\quad l\in\{1,...,k\}$, weil Winkel äquivalent sind, wenn ihre Differenz ein ganzes Vielfaches von $2\pi$ ist.

Damit ist die Lösung in Polarkoordinaten: $z^k=1 \Leftrightarrow z=(1,\frac{2\cdot l \cdot \pi}k),\quad l\in\{1,...,k\}$. Und wie kommt man von Polarkoordinaten zurück in $(\Re,\Im)$-Koordinaten ($z=a+bi$)?

$$z=r\cdot e^{i\varphi}=e^{i\frac{2\cdot l \cdot \pi}k}=e^{\frac{2\ l\ \pi\ i}k},\quad l\in\{1,...,k\}.$$

Comments

Haben k und l immer den gleichen Wert?

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Wenn ich die Polarform in die kartesische Form umwandel, erhalte ich als Lösung:

z=1

Stimmt dies?

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Eben nicht, deshalb hast du verschiedene Lösungen!

Für $z^4=1$ hast du die Lösungen:

$$l=1\colon z=1\cdot e^{\frac{2\pi i}4}=\cos\left(\frac\pi2\right)+i\sin\left(\frac\pi2\right)=i,$$ $$l=2\colon z=1\cdot e^{\frac{2\cdot2\pi i}4}=\cos\left(\pi\right)+i\sin\left(\pi\right)=-1,$$ $$l=3\colon z=1\cdot e^{\frac{3\cdot2\pi i}4}=\cos\left(\frac32\pi\right)+i\sin\left(\frac32\pi\right)=-i,$$ $$l=4\colon z=1\cdot e^{\frac{4\cdot2\pi i}4}=\cos\left(2\pi\right)+i\sin\left(2\pi\right)=1.$$

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Das heisst es gibt k verschieden Lösungen für die Gleichung z^k=1 und die Lösungen sind:

$${ \left\{ (cos(\frac { 2l\pi }{ k } )+i*sin(\frac { 2l\pi }{ k } ));\quad l\quad \varepsilon \quad \left\{ 1,...,k \right\} \right\} }$$

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Genau so stimmt es!