Gruppenisomorphismus zu a ◦ b = a + b − 1 finden

Question

Wie finde ich einen Gruppenisomorphismus zu a ◦ b = a + b − 1?

Comments

Wie finde ich einen Gruppenisomorphismus zu a ◦ b = a + b − 1?

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Auf den ganzen Zahlen?

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Ja...

Geben Sie einen Gruppenisomorphismus (Z, ◦) → (Z, +) an (und rechnen Sie nach, dass es sich wirklich um einen Gruppenisomorphismus handelt). 

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Komme echt nicht weiter...

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Antwort ist bereits da, lade mal die Seite neu!

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Habe ich jetzt gesehen... vielen Dank ;-)

Answer 1

$$\psi\colon(\mathbb Z,\circ)\rightarrow(\mathbb Z,+)\colon z\mapsto z+1.$$

$$\forall m,n\in \mathbb Z\colon m+n+1=\psi(m+n)=\psi(m)\circ\psi(n)=(m+1)\circ(n+1)=(m+1)+(n+1)-1=m+n+1.$$

Comments

Nur warum genau ist m+n+1 isomorph

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Die letzte Zeile? Klar. Für einen Gruppenhom. \(f\) muss man zeigen, dass für je zwei Elemente in \(x,y\) in der ersten Gruppe gilt: $$f(x+y)=f(x)\circ f(y)$$ Dabei ist \(+\) die Verknüpfung in der ersten Gruppe (im Definitionsbereich) und \(\circ\) die Verknüpfung in der zweiten Gruppe (im Bildbereich). Was die letzte Zeile zeigt, ist, dass für alle Elemente \(x,y\) des Definitionsbereichs gilt: $$f(x+y)=...=x+y+1=...=f(x)\circ f(y).$$ Damit haben wir die benötigte Eigenschaft gezeigt.

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.. für was genau steht das Symbol ψ

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Sorry, habe den Isomorphismus-Teil ganz vergessen:

\(f(z)=z+1\) trifft ganz \(\mathbb Z\), weil für ein beliebiges \(m\in\mathbb Z\) gilt: $$f(m-1)=m.$$ Da für alle \(m\in \mathbb Z\) auch \((m-1)\in \mathbb Z\) ist, haben wir die Surjektivität gezeigt. ("damit eine Zahl von der Abbildung getroffen wird, nimm eins weniger als die Zahl als Argument").

Für die Injektivität, nimm an, du hast \(f(m)=f(n)\) für \(m,n \in \mathbb Z\). Da \(f(m)=f(n)\Leftrightarrow m+1=n+1\Leftrightarrow m+n\), müssen \(m\) und \(n\) bereits gleich sein. Es gibt also keine zwei ganzen Zahlen, die auf dasselbe abbilden.

Damit ist \(f\) bijektiv.

Und ja, ich habs jetzt \(f\) statt \(\psi\) genannt. Hoffe, das ist nicht schlimm.

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\(\psi\) ist der griechische Buchstabe psi, der oft für Gruppenhomomorphismen genutzt wird. Du kannst einfach \(\psi\) durch \(f\) ersetzen, wenn es dich stört.